单位化在使用正交化方法的过程中，仍然是对矩阵进行初等变换综合以上情形，得到利用初等变换法求解实对称矩阵对角化中正交矩阵的方法，同理，也可得到初等行变换求对角化中正交矩阵的方法需要注意的是，式在对变换矩阵正交化时，只能对下端矩阵的列向量进行正交化，而式中，只能对右端变换矩阵的行向量进行正交化定理设矩阵为等差实对称矩阵，则实对称矩阵的特征向量分别，，下面利用初等变换法求解等差实对称矩阵对角化中的正交矩阵和特征向量例已知，求正交矩阵，使为对角形，和特征向量解利用初等列变换式求解对角化中的正交矩阵，这里采取先进行初等行变换，再进行相应的初等列变换的顺序由特殊实对称矩阵的特征向量分别，，对特征向量进行正交化再对进行单位化所以参考文献李文林数学史概论版北京高等教育出版社，王恒斌，宋福庆类特殊矩阵及其相关问题的研究安阳师范学院学报自然科学版北京大学数学系几何与代数研究室前代数小组，王萼芳，石生明，修订高等代数版北京高等教育出版社，唐鹏程矩阵的迹及其应用孝感学院学报自然科学版，王品超高等代数新方法下册徐州中国矿业大学出版社，刘建业，张天德，吕洪波等高等代数习题精选精讲济南山东科学技术出版社邱森线性代数学习指导与习题解析武汉武汉大学出版社卢刚线性代数北京高等教育出版社，华东师范大学数学系数学分析下册北京高等教育出版社，同济大学数学系工程数学线性代数版北京高等教育出版社，致谢在四年的大学学习和生活中，我得到了来自学院老师家人同学对我多方面的关怀及帮助，使我得以顺利的走过了我人生道路上的重要的段旅程我深深的感谢他们，并将以此激励我在今后的学习工作和生活中不断进取,感谢我的毕业论文指导老师田雪老师在这几个月以来对我的关怀和帮助他在本文选题，内容研究和文章撰写过程中都给予我细心的指导，并提出了许多宝贵的意见她严谨的治学作风，渊博的知识和丝不苟的教学精神，使我受益匪浅同时要感谢辛大伟老师，正是在田雪老师和辛大伟老师的帮助下我的毕业论文才得以顺利完成引理设时个数域，，矩阵的主对角线上的元素之和，叫做的迹是矩阵的全部特征值，那么推论设实对称为等差实对称矩阵是矩阵的全部特征值，则证明根据引理知，又由定理知所以有证毕例设阶等差实对称矩阵的全部特征根为证明证明由的特征根为，，故的全部的特征根为，，而，故等差实对称矩阵的应用等差实对称矩阵在二次型中的应用引理若二次型中只含有变量的平方项，即，其中，为实数，则称该二次型为标准型用非退化线性替换，把二次型话为标准型的问题是二次型理论的主要问题化二次型为标准型的方法主要有配方法，正交替换法，初等变换法下面将利用矩阵的和式分解的方法将以上述等差实对称矩阵为二次型的矩阵的二次型化为标准型设实二次型，二次型的矩阵为等差实对称矩阵，即其中，是以为首项，公差为的等差数列，所以因为矩阵为等差实对称矩阵所以有根据矩阵的和式分解故有解得，如要求得元函数，的最大值和最小值，则需要求在处的黑赛矩阵，在根据引理进行判断又由于元函数是实数域上的个元二次型，且其二次型矩阵为等差实对称矩阵，根据等差实对称矩阵在二次型型中的应用，下面将提供种不用求函数，的黑赛矩阵而判断，的最大值最小值当，时，在邻域，根据极值的判断条件，在处取得极大值当，时，在邻域，根据极值的判断条件，在处取得极小值等差实对称矩阵对角化中正交矩阵的初等变换求法引理实对称矩阵定可以正交对角化即对于任意个阶实对称矩阵，都存在个阶正交矩阵，使，其中，，为的特征值引理矩阵可逆的充分必要条件是它能表示成系列初等矩阵的乘积由于正交矩阵是可逆的，且其逆矩阵也为正交矩阵，所以对于实对称矩阵，存在系列初等矩使得，注意到，初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵，且，，，，所以相当于对实对称矩阵先进行了次初等行列变换，然后再进行次相应的逆初等列行变换上面的讨论提示了种将对称矩阵对角化的方法设为阶实对称矩阵，存在系列初等矩阵，使得记，则可表示为由，知，如果用系列初等列变换和相应的逆初等行变换把对称矩阵对角化，那么对单位阵实行同样的初等列变换，就可以得到变换矩阵即为了得到正交矩阵变换，需要利用正交化方法，将变换矩阵化为正交矩阵由于实对称矩阵存在重根的情形，且属于不同特征值的特征向量正交，因此，这里我们只讨论存在个重特征值的情形，其余情形可以类推得到设对角，其中为重根，对应的变换矩，，对列向量进行标准正交化首先进行正交化，令，其中，为常数，此时相当于对矩阵进行了系列初等列变换，以及同时对对角阵进行相应的逆初等行变换接着进行单位化，即用对矩阵进行初等列变换以及对角阵进行相应的逆初等行变换，从而将矩阵化为正交矩阵具体变换如下，先对令即经非退化线性替换得例用非退化线性替换化下列实二次型为标准型解的矩阵为故有令即经非退化线性替换得，等差实对称矩阵在般的元函数中的极值讨论中的应用为了证明下面的主要结果，我们先给出以下的几个引理引理在微积分的多元函数理论中，曾经讨论了二元函数，的极值问题，并得到了极值的必要条件和充分条件现在，我们把这些条件推广到般的元函数设元函数，在，的个邻域内有阶二阶连续偏导数记引理极值存在的必要条件设函数，在点，存在阶偏导数，且为该函数的极值点，则引理下面给出个驻点为极值的充分条件首先，引入矩阵称为函数，在处的黑赛矩阵即是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵设函数，在，的个邻域内有阶二阶连续偏导数且则当为正定矩阵时，为的极小值当为负定矩阵时，为的极大值当为不定矩阵时，不是的极值由知以等差实对称矩阵为矩阵的二次型可以看作个定义在实数域中的的元函数，根据引理有定理上述元函数的驻点唯，即由得，证明对求各阶偏导数便令各阶偏导数都等于零等差实对称矩阵在二次型中的应用等差实对称矩阵在般的元函数中的极值讨论中的应用等差实对称矩阵对角化中正交矩阵的初等变换求法参考文献致谢引言为了叙述方便，假定本文进行的探讨均在实数域内随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普及运用，数学的独特魅力，在借助于计算机这强大的工具作用下，在解决科技生产中的重大实际问题的过程中正得以充分的体现在数学中，确立矩阵概念和产生矩阵词的动机是试图为研究行列式提供种适当的代数语言英国数学家西尔维斯特，在进行线性方程组的研究时，首次引入了矩阵的概念如今，矩阵已经是数学上的个重要概念由于它描述问题表达简洁，刻画实质深刻等优点，近几十年来已经成为解决科技生产中的重大实际问题所最常用的方法之譬如在概率论和经济学等学科中经常用的非负矩阵，在