实数根当时，方程没有实数根问题探究如图，四边形是正方形，⊥求证≌方法拓展如图，是矩形⊥若矩形的面积为，的面积为，求阴影部分图形的面积考点四边形综合题分析根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明首先证明∽，求出的面积，根据阴影部分图形矩形计算即可解答问题探究第页共页证明如图中，四边形是正方形，⊥在和中≌，方法拓展解如图中，∽第页共页阴影部分图形矩形如图，在矩形中点分别从点三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点的速度均为，点的速度为，当点追上点即点与点重合时，三个点随之停止移动设移动开始后第秒时，的面积为当秒时，的值是多少写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似请说明理由考点相似三角形的判定次函数的应用三角形的面积矩形的性质分析当时，根据点的速度均为，点的速度为，可求出和的关系根据点的速度均为，点的速度为，当点追上点即点与点重合时，三个点随之停止移动设移动开始后第秒时，的面积为，求出和的关系式两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解解答解如图，当秒时第页共页由梯形如图，当时，点分别在边上移动，此时，梯形•••如图，当点追上点时解得，当时，点在边上移动，点都在边上移动，此时，••即如图，当点在矩形的边上的边移动时，在和中若，即，解得第页共页所以当时，∽，若即，解得所以当时，∽综上所述，当或时，以点为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似面直角坐标系中，点在的边上，∥交于点若点的坐标分别为，点的横坐标为，则点的坐标为，，，，考点位似变换坐标与图形性质分析先判定和是以原点为位似中心的位似图形，然后利用的横坐标的规律得到相似比为，然后把点的横纵坐标都乘以即可得到点坐标解答解∥，和是以原点为位似中心的位似图形，而点的横坐标为，把点的纵坐标乘以可得点的纵坐标，即点的横坐标为，故选二填空题共小题，每小题分，满分分化简的结果是考点二次根式的性质与化简分析直接利用二次根式的性质化简求出答案解答解原式第页共页故答案为比较大小考点有理数的乘方有理数大小比较分析分别计算和，再比较大小即可解答解，即故答案为元二次方程的解是，考点解元二次方程因式分解法分析利用因式分解法解方程解答解，解得，故答案为，不解方程，可以判断它的根的情况是有两个不相等的实数根考点根的判别式分析根据根的判别式可得出，由此即可得出方程解的情况解答解在方程中，方程有两个不相等的实数根故答案为有两个不相等的实数根已知，那么等于考点比例的性质第页共页分析根据和比性质，可得答案解答解，那么，故答案为如图，点分别为三边的中点，若的周长为，则的周长为考点三角形中位线定理分析根据三角形的中位线性质得出，即可求出答案解答解点分别为三边的中点的周长为，通过∽，得到，列方程即可得到结果解答解四边形是矩形是矩形的边的中点，⊥，第页共页，∽即，如图，在中，点是边的四等分点，∥，∥，求四边形的周长考点平行线分线段成比例分析根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，证∽，得出，代入求出即可求出答案解答解∥，∥，四边形是平行四边形∥，∽，四边形的周长是第页共页答四边形的周长是如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，和的顶点都在方格纸的格点上求和的面积比点是边上的个格点，请在这个格点中选取个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似要求写出个符合条件的三角形，并分别在图和图中将相应三角形涂黑，不必说明理由考点作图相似变换分析直接利用勾股定理得出三角形各边长，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案利用相似三角形的判定方法得出符合题意的答案解答解，∽，和的面积比为如图所示，等与相似已知关于的方程当取何值时，方程有两个不相等的实数根第页共页当取何值时，方程有两个相等的实数根当取何值时，方程没有实数根考点，即的周长为，故答案为三解答题共小题，满分分计算考点二次根式的加减法分析先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可解答解原式第页共页实数在数轴上的位置如图所示，化简考点二次根式的性质与化简实数与数轴分析首先得出，的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案解答解利用数轴可得故原式用配方法解方程考点解元二次方程配方法分析首先把方程移项变形为的形式，然后在方程的左右两边同时加上次项系数半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解解答解移项，得，配方，得，即，解这个方程，得即，用公式法解方程考点解元二次方程公式法分析先计算判别式的值，然后根据求根公式求解解答解，所以，近年来网上购物交易额呈逐渐增加趋势据报道，网上商城年的交易额是亿元，年达到了亿元这两年的交易额平均年增长的百分率是多少若该网上商城年的交易额以这个百分率增长，预计到年底交第页共页易额将达到多少亿元考点元二次方程的应用分析首先设这两年的交易额平均年增长的百分率是，提高后的交易额提高前的交易额增长率，则年的常量是，年的产量是，即可列方程求得增长率解答解设这两年的交易额平均年增长的百分率是，由题意得，解得，舍去，亿元答年底将达到亿元如图，是矩形的边的中点，⊥于点求点到直线的距离考点相似三角形的判定与性质矩形的性质分析由四边形是矩形，得到，根据勾股定理得求点到直线的距离如图，在中，点是边的四等分点，∥，∥，求四边形的周长如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，和的顶点都在方格纸的格点上求和的面积比点是边上的个格点，请在这个格点中选取个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似要求写出个符合条件的三角形，并分别在图和图中将相应三角形涂黑，不必说明理由第页共页已知关于的方程当取何值时，方程有两个不相等的实数根当取何值时，方程有两个相等的实数根当取何值时，方程没有实数根问题探究如图，四边形是正方形，⊥求证≌方法拓展如图，是矩形⊥若矩形的面积为，的面积为，求阴影部分图形的面积如图，在矩形中点分别从点三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点的速度均为，点的速度为，当点追上点即点与点重合时，三个点随之停止移动设移动开始后第秒时，的面积为当秒时，的值是多少写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似请说明理由第页共页第页共页学年吉林省长春市九台区九年级上期中数学试卷参考答案与试题解析选择题共小题，每小题分，满分分使二次根式有意义的的取值范围是≠考点二次根式有意义的条件分析二次根式的被开方数是非负数，即解答解依题意得解得故选方程的二次项系数次项系数常数项分别为考点元二次方程的般形式分析元二次方程是常数且的分别是二次项系数次项系数常数项解答解方程的二次项系数次项系数常数项分别为故选下列二次根式中与是同类二次根式的是考点同类二次根式分析根据同类二次根式的定义进行选择即可解答解，与是同类二次根式，故正确第页共页，与不是同类二次根式，故，与不是同类二次根式，故，与不是同类二次根式，故故选若关于的元二次方程有解是，则的值为考点元二次方程的解分析根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值解答解把代入关于的元二次方程，得，整理，得，解得又≠即≠，故选下列说法正确的是两个矩形定相似两个菱形定相似两个等腰三角形定相似两个等边三角形定相似考点相似图形分析利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项解答解两个矩形的对应角相等，但对应边的比不定相等，故不定相似，两个菱形的对应边的比相等，但对应角不定相等，故不定相似，第页共页两个等腰三角形不定相似，故两个等边三角形定相似，正确，故选如图，在比例尺为的城市地图上，若量得两所学校的距离是，则两所学校的实际距离是米米米米考点比例线段分析根据比例尺图上距离实际距离，列出比例式直接求解即可解答解设两城市的实际距离是，则，故选如图，∥∥，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长等于考点平行线分线段成比例分析根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可解答解∥∥，第页共页，即，解得故选如图，在第页共页学年吉林省长春市九台区九年级上期中数学试卷选择题共小题，每小题分，满分分使二次根式有意义的的取值范围是≠方程的二次项系数次项系数常数项分别为下列二次根式中与是同类二次根式的是若关于的元二次方程有解是，则的值为下列说法正确的是两个矩形定相似两个菱形定相似两个等腰三角形定相似两个等边三角形定相似如图，在比例尺为的城市地图上，若量得两所学校的距离是，则两所学校的实际距离是米米米米如图，∥∥，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长等于第页共页如图，在平面直角坐标系中，点在的边上，∥交于点若点的坐标分别为，点的横坐标为，则点的坐标为，，，，二填空题共小题，每小题分，满分分化简的结果是比较大小元二次方程的解是