给定次函数,若在内恒有,则根据函数的图像直线可得上述结论等价于同理,若在内恒有,则有,利用的函数图像可知,变式对任立,令,利用其函数图像,得变式若时,恒成立,求的取值范围。分析可以看成关于的次函数,也可以看成关于的次函数,所以在不等式中出现了两个字母及,关键在于该把哪个字个字母看成是个变量,另个作为常数。显然,可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的次函数小于的恒成立问题。在的最小值可能是,也可能是,且,且,当,在上恒成恒成立问题的解题策略原稿个恒成立问题所以求满足条件的的范围,先可以求满足条件的的范围,再求其补集。因为任意,恒成立,所以,所以满足条件的的范围为。分析原不等式可整理成,则存在,有解,恒成立,则。其中和分别为的最大值和最小值例已知函数在是增函数,在为减函数,求的表达式当时,若在内恒成立,求的取值范围。变式对任意恒成立,求的取值范围。解若对当时,若在内恒成立,求的取值范围。恒成立问题的解题策略原稿。解由例可得因为在上恒成立,所以。如例令存在,有解,所以命题是个存在性问题而任意,恒成立,它,所以此不等式在上恒成立,变量分离若在等式或不等式中出现两个变量,其中个变量的范围已知,另个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号数的图像直线可得上述结论等价于同理,若在内恒有,则有,利用的函数图像可知,变式对任意及时,恒成立,求的取值范围。分析不等式中出现了个字母,及,关键在于先把哪两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论若对于取值范围内的任何个数都有恒成立,则若对于取值范围内的任何个数,都解由例可得因为在上恒成立,所以。如例令存在,有解,所以命题是个存在性问题而任意,恒成立,它是个恒成立问题所以求满足条件的的范围,先可以求满足条件的的范围,再的个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型是利用函数图像与性质,例如,次函数次函数等是变量分离。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。分析关键词恒成立问题函数图像数学作者简介张静芬,任教于江苏省常熟市中学。在高中教学中,我们经常会碰到在给定条件下些结论恒成立的问题,我们怎样来解决呢函数在意恒成立,令,利用其函数图像,得变式若时,恒成立,求的取值范围。分析可以看成关于的次函数,也可以看成关于的次函数,所以在不等式中出现了两个字母及,关键在于该把两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论若对于取值范围内的任何个数都有恒成立,则若对于取值范围内的任何个数,都个恒成立问题所以求满足条件的的范围,先可以求满足条件的的范围,再求其补集。因为任意,恒成立,所以,所以满足条件的的范围为。分析原不等式可整理成,则存在,有解,若对于取值范围内的任何个数都有恒成立,则若对于取值范围内的任何个数,都有恒成立,则。其中和分别为的最大值和最小值例已知函数在是增函数,在为减函数,求的表达恒成立问题的解题策略原稿不等式可整理成,则存在,有解,是个存在性问题。存在性问题有如下解法在定义域上有解在定义域上有解。解令,在上恒大于零,在上单调递增,。变式任意,恒成立,求的范个恒成立问题所以求满足条件的的范围,先可以求满足条件的的范围,再求其补集。因为任意,恒成立,所以,所以满足条件的的范围为。分析原不等式可整理成,则存在,有解,数次函数的性质图像,渗透着换元化归数形结合函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高即,在上恒成立,如变式令,方法若先把看成关于的次函数,则在上恒成立如变式,则,所以此不等式在上恒成立,变量分离若在等式或不等式中出现两个变量,其中个变量的范围定区间上结论成立问题,其表现形式通常有在给定区间上关系恒成立函数的定义域为全体实数不等式的解为切实数表达式的值恒大于等等恒成立问题,涉及到次两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论若对于取值范围内的任何个数都有恒成立,则若对于取值范围内的任何个数,都个存在性问题。存在性问题有如下解法在定义域上有解在定义域上有解。解令,在上恒大于零,在上单调递增,。变式任意,恒成立,求的范围。恒成立问题的解题策略原稿当时,若在内恒成立,求的取值范围。恒成立问题的解题策略原稿。解由例可得因为在上恒成立,所以。如例令存在,有解,所以命题是个存在性问题而任意,恒成立,它再求其补集。因为任意,恒成立,所以,所以满足条件的的范围为。若原题可化为次函数型,则由数形结合思想利用次函数知识求解,十分简捷。给定次函数,若在内恒有,则根据知,另个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结恒成立问题的解题策略原稿个恒成立问题所以求满足条件的的范围,先可以求满足条件的的范围,再求其补集。因为任意,恒成立,所以,所以满足条件的的范围为。分析原不等式可整理成,则存在,有解,意及时,恒成立,求的取值范围。分析不等式中出现了个字母,及,关键在于先把哪个字母看成是变量,另外两个作为常数。方法若先把看成关于的次函数,且在上恒大于等于,则当时,若在内恒成立,求的取值范围。恒成立问题的解题策略原稿。解由例可得因为在上恒成立,所以。如例令存在,有解,所以命题是个存在性问题而任意,恒成立,它看成是个变量,另个作为常数。显然,可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的次函数小于的恒成立问题。恒成立问题的解题策略原稿。若原题可化为次函数型,则,在上单调递减,所以不符题意。综上所述,。方法同例的方法当时,当时,令在单调递增,在在上恒成立,在上单调递减,。变式对任意恒成立,求的取值范围。解若对任意恒意恒成立,令,利用其函数图像,得变式若时,恒成立,求的取值范围。分析可以看成关于的次函数,也可以看成关于的次函数,所以在不等式中出现了两个字母及,关键在于该把两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论若对于取值范围内的任何个数都有恒成立,则若对于取值范围内的任何个数,都字母看成是变量,另外两个作为常数。方法若先把看成关于的次函数,且在上恒大于等于,则,即,在上恒成立,如变式令,方法若先把看成关于的次函数,则在上恒成立如变式,立,令,利用其函数图像,得变式若时,恒成立,求的取值范围。分析可以看成关于的次函数,也可以看成关于的次函数,所以在不等式中出现了两个字母及,关键在于该把哪个字再求其补集。因为任意,恒成立,所以,所以满足条件的的范围为。若原题可化为次函数型,则由数形结合思想利用次函数知识求解,十分简捷。给定次函数,若在内恒有,则根据