方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出的值解答证明第页共页，不论为何值时，方程总有实数根解解方程得方程有两个不相等的正整数根，或，不合题意，点评本题考查的是元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握元二次方程根的情况与判别式的关系⇔方程有两个不相等的实数根⇔方程有两个相等的实数根⇔方程没有实数根是解题的关键定义新运算对于任意实数都有，等式右边是常用的加法减法乘法及乘方运算例如根据以上知识解决问题若的值小于，请判断方程的根的情况考点根的判别式专题新定义分析根据的值小于结合新运算可得出关于的元次不等式，解不等式可得出的取值范围，再由根的判别式得出，结合的取值范围即可得知的正负，由此即可得出结论解答解的值小于解得在方程中方程有两个不相等的实数根点评本题考查了根的判别式以及新运算，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键第页共页已知关于的方程求证方程总有两个不相等的实数根已知方程的个根为，求代数式的值要求先化简再求值考点根的判别式元二次方程的解分析找出，及，表示出根的判别式，变形后得到其值大于，即可得证把代入方程即可求的值，然后化简代数式再将的值代入所求的代数式并求值即可解答解关于的元二次方程，方程总有两个不相等的实数根是此方程的个根，把代入方程中得到，或，型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方第页共页，把代入得把代入得点评本题考查了根的判别式和元二次方程的解解题时，逆用元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析•南充已知关于的元二次方程，为实数求证方程有两个不相等的实数根为何值时，方程有整数解直接写出三个，不需说明理由考点根的判别式分析要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可要使方程有整数解，那么为整数即可，于是可取时，方程有整数解解答解原方程可化为，第页共页不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根，原方程可化为，方程有整数解，为整数即可，可取时，方程有整数解点评本题考查了元二次方程的根的情况，判别式的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键嘉淇同学用配方法推导元二次方程≠的求根公式时，对于的情况，她是这样做的由于≠，方程变形为，第步，第二步，第三步，第四步，第五步嘉淇的解法从第四步开始出现事实上，当时，方程≠的求根公式是用配方法解方程考点解元二次方程配方法专题阅读型第页共页分析第四步，开方时出错把常数项移项后，应该在左右两边同时加上次项系数的半的平方解答解在第四步中，开方应该是所以求根公式为故答案是四用配方法解方程解移项，得，配方，得，即，开方得点评本题考查了解元二次方程配方法用配方法解元二次方程的步骤形如型第步移项，把常数项移到右边第二步配方，左右两边加上次项系数半的平方第三步左边写成完全平方式第四步，直接开方即可形如，则关于的方程根的情况是有两个相等的实数根有两个不相等的实数根无实数根有根为考点根的判别式分析利用完全平方的展开式将展开，即可得出，再结合方程根的判别式，即可得出，由此即可得出结论解答解，在方程中方程有两个不相等的实数根故选点评本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键若关于的元二次方程有实数根，则实数的取值范围是且≠且≠第页共页考点根的判别式分析根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为解答解关于的元二次方程有实数根即，解得，关于的元二次方程中≠，故选点评本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定元二次方程根的情况是关于的次函数，则元二次方程的根的情况为没有实数根有个实数根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根考点根的判别式次函数的定义分析由次函数的定义可求得的取值范围，再根据元二次方程的判别式可求得答案解答解是关于的次函数，≠解得，又元二次方程的判别式元二次方程无实数根，故选点评本题主要考查元二次方程根的判别式，掌握元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即⇔元二次方程有两个不相等的实数根，⇔元二次方程有两个相等的实数根，⇔元二次方程无实数根关于的元二次方程有两个相等的实根，则的值为第页共页考点根的判别式分析根据判别式的意义得到，然后解次方程即可解答解元二次方程有两个相等的实根解得，故选的方程有实数根，则的取值范围是考点根的判别式分析由于的取值不确定，故应分此时方程化简为元次方程和≠此时方程为二元次方程两种情况进行解答解答解当时，原方程可化为，解得当≠时，此方程是元二次方程，方程有实数根即，解得的取值范围是故答案为点评本题考查的是根的判别式，注意掌握元二次方程≠的根与的关系，同时解答此题时要注意分和≠两种情况进行讨论关于的方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为考点根的判别式分析根据元二次方程的定义和根的判别式的意义得到≠且，然后求出两个不等式的公共部分即可解答解关于的方程有两个不相等的实数根，≠且，即，解得且≠，的最小整数值为故答案为点评本题考查的是根的判别式，在解答此题时要注意≠的条件如果关于的元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值为或考点根的判别式分析根据方程有两个相等的实数根列出关于的方程，求出的值即可解答解关于的元二次方程有两个相等的实数根，第页共页，即，解得或故答案为或点评本题考查的是根的判别式，熟知元二次方程的解与判别式之间的关系是解答此题的关键三解答题已知关于的元二次方程有两个相等的实数根求的值解原方程考点根的判别式分析根据题意得到，由此列出关于的方程并解答利用直接开平方法解方程解答解关于的元二次方程有两个相等的实数根且≠，解得由知则该方程为，即，解得点评本题考查了元二次方程≠的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根当，方程有两个相等的实数根当，方程没有实数根•咸宁已知关于的元二次方程证点评本题考查了元二次方程≠的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根当，方程有两个相等的实数根当，方程没有实数根若关于的元二次方程有实数根，则的取值范围是考点根的判别式分析直接利用根的判别式进而分析得出的取值范围解答解关于的元二次方程有实数根解得故选点评此题主要考查了根的判别式，正确得出关于的等式是解题关键二填空题如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是考点根的判别式解元次方程分析根据方程有两个相