所以分由题意即，所以又，所以由，得所以，数列是以为首项，为公差的等差数列所以，分当时，有于是，叠加得所以分又当时，也适合所以数列的通项公式为，∈分本小题满分分已知函数，其中∈，为自然对数的底数关于的不等式在∞，上恒成立，求的取值范围讨论函数极值点的个数解由，得，即对任意∈∞，恒成立，即对任意∈∞，恒成立，分因为，所以，记，因为在∞，上单调递增，且，所以，即的取值范围为，∞分由题意，可得，可知只有个极值点或有三个极值点令，若有且仅有个极值点，则函数的图象必穿过轴且只穿过次，即为单调递增函数或者极值同号ⅰ当为单调递增函数时，在上恒成立，得ⅱ当极值同号时，设，为极值点，则，由有解，得，且所以分所以，同理所以，化简得，所以，即，所以所以，当时，有且仅有个极值点若有三个极值点，则函数的图象必穿过轴且穿过三次，同理可得综上，当时，有且仅有个极值点，当时，有三个极值点分根据正弦定理及余弦定理可得整理得当且仅当时等号成立对于实数定义运算，设，若关于的方程∈恰有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围是，∪，由题意得，画出函数的大致图象如图所示因为关于的方程∈，即∈恰有四个互不相等的实数根，所以两直线∈与曲线共有四个不同的交点，则，或，或得或二解答题本大题共小题，共分解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分设为锐角，且求的值求的值解为锐角，∈，又，故分分又分故，分本小题满分分在直三棱柱中，由正弦定理得，存在由知令，得当时所以当时，取得最大值分或因为，所以存在唯的∈使得当时所以当时，取得最大值此时，分本小题满分分在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率是，定义直线为椭圆的类准线，已知椭圆的类准线方程为，长轴长为求椭圆的方程点在椭圆的类准线上但不在轴上，过点作圆的切线，过点且垂直于的直线与交于点，问点是否在椭圆上证明你的结论解由题意知又，解得分所以椭圆的方程为分点在椭圆上证明如下设切点为≠，则，切线的方程为，当时即分则，所以，直线的方程为联立解得，，即，分因为，所以点的坐标满足椭圆的方程当时，同，是的中点图求证∥平面若点在线段上，且，求证⊥平面证明连结，设交于点，连结分四边形是矩形，是的中点在中分别是，的中点，∥分又⊂平面，⊄平面，∥平面分，是的中点，⊥又在直三棱柱中，底面⊥侧面，交线为，⊂平面，⊥平面分⊂平面，⊥∽，分从而⊥又∩，⊂平面，⊂平面，⊥平面分本小题满分分如图，直线是湖岸线，是上点，弧是以为圆心的半圆形栈桥，为湖岸线上观景亭，现规划在湖中建小岛，同时沿线段和点在半圆形栈桥上且不与点，重合建栈桥考虑到美观需要，设计方案为，且圆弧栈桥在的内部，已知，沿湖岸与直线栈桥，及圆弧栈桥围成的区域图中阴影部分的面积为，图求关于的函数关系式试判断是否存在最大值，若存在，求出对应的的值，若不存在，说明理由解在中从而的面积分又因为的面积，所以扇形分注当所在直线与半圆相切时，设取得最大值，此时在中的图象如图所示，则该函数的解析式是图由图知点，在函数的图象上解得，利用五点作图法可得点，在函数的图象上，∈，解得，∈，当时如图，在长方体中，对角线与平面交于点记四棱锥的体积为，长方体的体积为，则的值是图连结，设∩，再连结，平面∩平面