抛物线≠与轴交于两点，过点的直线交抛物线于点求此抛物线的解析式在直线上有动点，当点在个位置时，使的周长最小，求此时点坐标当动点在直线与抛物线围成的封闭线上运动时，是否存在使为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的点的坐标若不存在，请说明理由分析利用待定系数法求出抛物线解析式先判断出周长最小时⊥，即作点关于直线的对称点，连接，交于点，联立方程组即可三角形是直角三角形时，由于，因此只有或，两种情况，利用直线垂直求出点坐标解答解抛物线≠与轴交于两点，抛物线解析式为，如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，由得，抛物线解析式为，点是直线与抛物线的交点，联立解得，舍或，直线解析式为，直线⊥，且直线解析式为，设点点在直线上，直线解析式为，直线解析式为，直线和直线的交点，由有，点到线段的距离为，不可能是直角，直线解析式为，为直角三角形⊥交于，直线解析式为，点在直线的图象上⊥交于，直线的解析式为，点在抛物线上，直线与抛物线的交点为，和即满足条件的点的坐标为，或，点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的关键是求函数图象的交点坐标•达州如图，已知抛物线≠交轴与，两点点在点左侧，将直尺与轴负方向成放置，边经过抛物线上的点与抛物线的另交点为点，直尺被轴截得的线段，且的面积为求该抛物线的解析式探究在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大若存在，请求出面积的最大值及此时点的坐标若不存在，请说明理由将直尺以每秒个单位的速度沿轴向左平移，设平移的时间为秒，平移后的直尺为，其中边所在的直线与轴交于点，与抛物线的其中个交点为点，请直接写出当为何值时，可使得以为顶点的四边形是平行四边形分析根据三角形的面积公式求出的值，结合点的坐标利用待定系数法即可求出值，从而得出结论假设存在过点作轴的平行线，交轴与点，交直线于点根据抛物线的解析式找出点的坐标设直线的解析式为，点的坐标为由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，代入，即可得出点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出关于的元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题根据直尺的摆放方式可设出直线的解析式为，由点的坐标利用待定系数法即可得出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点的坐标，令直线的解析式中，求出值即可得出点的坐标，结合线段的长度即可找出点的坐标，设出点的坐标，结合平行四边形的性质以及点坐标的坐标即可找出点的坐标，再由点在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间的元二次方程，解方程即可得出结论解答解•即点的坐标为将点，代入抛物线≠中，得，解得，该抛物线的解析式为假设存在过点作轴的平行线，交轴与点，交直线于点，如图所示令抛物线中，则有，解得点的坐标为点的坐标为，设直线的解析式为，点的坐标为直线过点解得，直线的解析式为点的坐标为点的坐标为，•，当时，取最大值，最大值为，此时点的坐标为，在直线上方的抛物线上存在点，使得的面积最大，面积的最大值为，此时点的坐标为，直尺与轴负方向成放置，设直线的解析式为，点，在直线上解得，直线的解析式为联立直线与抛物线解析式成方程组，解得，或，点的坐标为，令直线的解析式中，则，解得，即点的坐标为，且点在点的左边，点的坐标为，点在轴的上方时设点的坐标为则点的坐标为即，点，在抛物线的图象上整理得，解得点在轴的下方时设点的坐标为则点的坐标为即，点，在抛物线的图象上整理得，解得当为或秒时，可使得以为顶点的四边形是平行四边形点评本题考查了三角形的面积公式待定系数法求函数解析式二次函数的性质解二元二次方程组平行四边形的性质以及解元二次方程，解题的关键是求出点的坐标利用二次函数的性质解决最值问题用时间表示出来点的坐标本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，联立函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键•西宁如图，在平面直角坐标系中，四边形是以为直径的的内接四边形，点，在轴上，是边长为的等边三角形，过点作直线与轴垂直，交于点，垂足为点，且点平分求过三点的抛物线的解析式求证四边形是菱形请问在抛物线上是否存在点，使得的面积等于定值若存在，请求出所有的点的坐标若不存在，请说明理由分析根据题意首先求出抛物线顶点的坐标，再利用顶点式求出函数解析式利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出，进而得出，即可得出答案首先表示出的面积进而求出的值，再代入函数关系式求出点坐标解答解由题意可知，为等边三角形，点，均在上，则，又⊥抛物线顶点的坐标为设函数解析式为≠把点，代入，解得，故二次函数解析式为证明连接，为等边三角形，点平分弧是等边三角形四边形为菱形四条边都相等的四边形是菱形解存在理由如下设点的坐标为，即，解得，当时解此方程得，即点的坐标为当时此方程无解，故所求点坐标为，点评此题主要考查了二次函数综合以及菱形的判定方法三角形面积求法和等边三角形的性质等知识，正确得出点坐标是解题关键•长春如图，在平面直角坐标系中，有抛物线抛物线经过原点，与轴正半轴交于点，与其对称轴交于点，是抛物线上点，且在轴上方，过点作轴的垂线交抛物线于点，过点作的垂线交抛物线于点不与点重合，连结，设点的横坐标为求的值当抛物线经过原点时，设与重叠部分图形的周长为求的值求与之间的函数关系式当为何值时，存在点，使以点，为顶点的四边形是轴对称图形直接写出的值分析把，代入即可解决问题用的代数式表示，即可解决问题分或两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决，当时，两个抛物线对称轴，四边形是等腰梯形当四边形是菱形时，求出抛物线对称轴即可解决问题解答解抛物线经过原点，时，抛物线经过原点时，如图中，当时，设与交于点，与交于点，∽∥，∥，当时，如图中，设与交于点，与轴交于点，交于，