1、“.....得∂∂∣∣将式代入式，可得−于是，特征值与特征向量导数为⎛⎝⎜∂∂∂∂⎞⎠⎟∣∣∣∣−−利用式，即可求得由方程并设，引入广义模态柔度矩阵，式中振型满足使用前个模态数据可构建损伤结构的广义模态柔度矩阵将式中的广义模态柔度矩阵在结构损伤前，即在处做阶展开并忽略高阶项，有∂∂，其偏导数部分可展开为−∂∂∂∂∂∂∣∣，其中，在处频率与基于广义模态柔性矩阵的损伤识别问题研究代数论文绝对值的几何平均值本文设当时，则预判该单元为损伤单元确定损伤程度的控制方程对损伤前的结构，在不考虑阻尼情形下，其频率与振型满足如下特征方程⋯式中和分别为损伤前阶刚度与质量矩阵和分别为第个固有频率平方与关于质量矩阵的归化振型假设损伤前后质量矩阵保持不变，则损伤后刚度矩阵可表示为−......”。

2、“.....可得再令，其中表示预先确定所取的模态阶数利用上述公式可分别计算出各单元损伤前后的参数和，其中单元刚度矩阵均用损伤前的相应矩阵计算利用完整模态数据给出了模态应变能指数，−文献假设当大于个值时，则该单元刚度发生变化，即该单元发生损伤该方法虽然对损伤处参数少，定位的损伤单元数比实际损伤单元数略多且不遗漏损伤单元等特点从损伤定位确定的损伤单元出发，本文使用最小平方正交角分解法求解最小乘问题，逐步确定损伤位臵与程度该方法仅涉及要求导的模态，可降低测量噪声的影响振型扩充及损伤单元预判振型扩充在结构有限元模型的每个节点上通常仅可放臵适当数量的传感器，此时可用些振型扩充技术近似计算出那些未测量自由度的振型分量本文采用如下公式完成振型扩充公式其中和分别表示阶结构有限元模型的刚度和质量矩阵为第阶固有频率的平方摘要用最小平方正交角分解法研究结构损伤识别问题......”。

3、“.....然后将基于广义模态柔性矩阵的损伤识别问题转化为最小乘问题，最后用方法逐步确定损伤的位臵和程度所给算例验证了方法的有效性关键词法代数广义模态柔度矩阵损伤定位方法损伤识别最小乘问题结构损伤检测近年来受到广泛关注等利用结构柔度矩阵的变化检测结构损伤等基于模态柔度残量的有限元模型修正检测损伤由于实际工程中不可能测得所有阶模态参数，因此用模态截断的柔度矩阵识别方法构两种方法损伤识别结果的比较图损伤情形下桁架结构两种方法损伤识别结果的比较图损伤情形下桁架结构两种方法损伤识别结果的比较综上，本文提出了种新的损伤定位方法，减少了未知量的个数并避免损伤单元的漏判采用部分低阶模态参数构建广义模态柔度矩阵，利用方法推导了其敏感性，进而将损伤识别问题转化为最小乘问题因求解该问题常用的最小乘法失效......”。

4、“.....且与基于模态柔度矩阵的损失的刚度此时，种损伤定位方法所得结果如图所示由于所布臵的传感器远离第个单元，故基于的方法漏判第个损伤单元，而本文方法虽然误判单元稍多，但未出现漏判现象而基于的判断结果仍略多于前两种方法种方法损伤识别结果如图所示由图可见，本文方法求解结果准确，而其他两种方法均出现了些误判为损伤的单元图桁架模型图损伤情形下桁架结构种损伤定位方法定位结果的比较图损伤情形下桁架结构种求解方法损伤识别结果的比较损伤情形第第和第个单元分别损失，和的刚度此时，种损伤定位方法所得结果臵，基于方法判断的损伤单元较多，由方法判断的损伤单元数次之，而利用方法定位的损伤单元较少用种方法计算的损伤程度如图所示由图可见......”。

5、“.....和的刚度此时，种损伤定位方法定位结果如图所示基于方法在多损伤单元情形下，出现了第个损伤单元漏判而基于方法仍然能识别出全部的型分量与频率平方ε和ε为所加的噪声水平表示振型分量和均是均值为方差为的高斯白噪声产生的随机数是损伤前第阶振型分量绝对值的最大值将测量得到的且带有噪声的组模态数据分别代入广义模态柔度矩阵，然后求其平均值，再代入式求解图框架模型本文使用框架和桁架两个算例，比较损伤定位指数损伤定位指数及本文方程的损伤定位指数，再分别利用传统最小乘法方法及迭代方法本文方法计算单元的损伤程度每个算例分别基于广义模态柔性矩阵的损伤识别问题研究代数论文识别法相比，其计算结果精度更高参考文献巩文龙，常军，刘大山，等基于量子粒子群优化算法的结构损伤识别动力学与控制学报，赵博，徐自力，阚选恩拉杆转子界面局部脱开识别的改进广义柔度矩阵法振动工程学报......”。

6、“.....杨秋伟，王学航，李翠红基于高次广义柔度灵敏度的结构损伤识别固体力学学报，谢少鹏，吴柏生，钟慧湘基于广义模态柔度矩阵的结构损伤识别吉林大学学报理学版，基金国家自然科学基金批准号基于广义模态柔性矩阵的损伤识别问题研究代数论文先完成损伤定位，再用迭代法求解对于模态柔度矩阵法，只需将式改成如下形式公式将式中的改成如下形式公式首先，考虑例损伤情形第个单元损伤的刚度损伤情形第第和第个单元分别损伤，和的刚度其次，考虑算例损伤情形第个单元损伤的刚度损伤情形第第和第个单元分别损伤，和的刚度损伤识别结果如图图所示从识别精度上看，模态柔度矩阵法在仅有低阶模态数据的情形下，有时易产生损伤单元误判图，而广义模态柔度矩阵法所得结果更接近实际损伤图损伤情形下框架结构两种方法损伤识别结果的比较图损伤情形下框架，本文设η步骤令......”。

7、“.....并将其下标归入集合保留系数矩阵中对应集合的列向量，去掉其余的列向量步骤调用中的函数，用新系数矩阵重新计算得到新损伤程度值，通过加速式再次得到组新损伤值计算加速后损伤参数的范数，返回步骤通过上述步骤可过滤对求解结果无用甚至产生干扰的信息在迭代过程中，系数矩阵规模列向量数越来越小，对于大规模最小乘问题，可提高计算效率算法流程如图所示图损伤识别流程数值实验模型图所示由图可见，方法定位丢失了第个损伤单元，而方法与方法样，没有丢失损伤单元信息，且误判单元数量比方法少图比较了种求解方法所得结果由图可见，迭代法的计算结果最接近实际情形，而另外两种方法则均出现了损伤单元误判图损伤情形下桁架结构种损伤定位方法定位结果的比较图损伤情形下桁架结构种求解方法损伤识别结果的比较与模态柔度矩阵法的比较为进步说明本文方法的有效性......”。

8、“.....两种方法均为同噪声水平下伤单元，且与基于方法相比定位损伤单元较少基于上述损伤定位，损伤程度计算结果如图所示由图可见，迭代方法仍然可较准确地确定损伤程度图损伤情形下框架结构种损伤定位方法定位结果的比较图损伤情形下框架结构种求解方法损伤识别结果的比较例考虑如图所示的桁架结构该模型是个由个杆单元组成的桁架结构假设直杆和斜杆单元长分别为和，密度，横截面面积，弹性模量为对该桁架结构，测量前阶固有频率及对应振型的第第第第第和第节点的水平与垂直振型分量损伤情形第个单元定两种损伤情形，以验证本文方法的有效性例考虑如图所示的框架结构该框架分为个单元，基本结构参数如下每个单元长弹性模量为截面惯性矩为密度为横截面面积为比为ν的单元视为未损伤单元例仅利用结构前两阶模态考虑各节点的轴向位移......”。

9、“.....种损伤定位方法的定位结果如图所示由图可见，种方法均可判断出损伤单元的位实验根据测量的自由度信息，抽取广义柔度灵敏度矩阵中与测量自由度对应的行和列元素，并按列拉直成个列向量，依次组合相应灵敏度矩阵对应的列向量后，形成结构灵敏度矩阵，仍记为，得到的向量仍记为，再用本文方法进行求解为模拟实际工程中的测量误差，分别给频率和振型施加和的高斯白噪声，施加噪声公式为ε，ε，其中和分别为损伤后加入测量噪声的第阶振型分量与频率平方而和分别为损伤后未加测量噪声的第阶基于广义模态柔性矩阵的损伤识别问题研究代数论文法，可提高计算精度本文使用软件包中函数−，求解方程为提高解的精度，可适当调高收敛精度和迭代次数在得到损伤参数后，用加速公式∶，⋯，对数据进步处理，以得到更准确的结果当方程组维数较少时，上述方法可获得满意的结果而对于较复杂的结构......”。