证能被整除。证明因为又因为所以能被整除。例证明能被整除。证由于各项都能被整除，所以能被整除注意在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情景上来，变形要有定的目的性，要凑出相关的因数。近似计算例求的计算结果精确到的近似值。解例求的近似值，误差小于。解，化简得故命题得证。小结利用求和方法证明组合等式是种常见的方法，常用到下面的等式求探索性问题例是否存在个等比数列，对所有的自然数，都有。证当时，命题显然成立，假设时命题成立，，当,,所以当时成立。所以，对所有的自然数成立，即存在等比数列，使。小结在数学中，要研究知识点的内在联系，不仅要会做题，还要知道做题的技巧，用简单的方法解题，这样才能化复杂为简单，才会有好的效果，也提高了做题效率。二项式定理与排列组合数二项式定理排列从个不同的元素中任取个元素，按照定顺序排列成列，叫做从个不同元素中取出个元素的个排列。组合从个不同的元素中任取个元素组合成组，叫做从个不同元素中取出个元素的个组合。从它们的定义看，它们有着密切的联系。排列组合和二项式定理是高中数学中相对独立的部分，排列组合的知识为概率论和统计中的计数提供了方法，而二项式定理又为排列组合提供了计算的方法和原理，在排列组合中往往使用捆绑法解题，这时我们就用到了二项式定理。在证明中我们可以用二项式定理来证明排列组合，反过来我们也可以用排列组合来证明二项式定理。从运用上看，它们更是分不开了。下面通过几个例子来说明它们密切不分的关系。例人并排站成行，甲乙两人必须不相邻，则有多少种排法解该题把甲乙放在起，把另外人放起，除甲乙外个人排列数，此时就有个空位，我们把甲乙插入个空位有种，所以不同的排法种数是种。例有甲乙丙三项任务，甲需个人承担，乙丙各需个人承担，从个人中选个人承担这三项任务，问有多少种选法解先从个人中选出个人承担甲项任务，在把剩下八个人看封夹套可能实现的冷却面积为封头表标面积封与圆筒被液体浸没的筒体为表面积筒之和封封筒夹夹套高度应不高于动态时的液面高度，因高于液面的传热面积，并没有起多少冷却作用。综上，传热需要的面积该设计夹套能提供的冷却面积为夹夹，可满足工艺要求。设备材料的选择采用钢制作壁厚计算Ⅰ夹套内罐的壁厚式中设备的公称直径，外压容器的稳定系数，与设备的起始椭圆度有关，在我国，设计压力，与水压有关，金属材料的弹性模量，对钢壁厚附加量，筒体长度，将数值具体可以写成推广二我们可以用同样方法得到四项次幂的计算方法推广三当指数为负数时也成立。例若的展开式为，求的值年全国高中数学联赛题解令时，可以得到，令时，可以得到，，其中，则，且令时，可以得到，由以上三式相加可得到，所以。例求展开式中含项的系数。解令，则，由题目得，，得所以含项的系数为。例已知，求。解因为,则，又，所以，所以。数学思想在二项式定理中的运用二项式定理的重点是它的展开式和性质，求二项式展开式中的特定项及系数，般用的都是二项展开式的通项公式，然而在实际解题中并不是这样的，有时需要运用些数学思想才可以求解，下面就介绍两种数学思想方法在解题中的运用，种是赋值法，另种是构造法。赋值法在二项式定理中是任意的，,所以在解题时需要对,进行适当的赋值来求二项式中系数和问题。例已知，求的值。解令,可得，令,可得，所以。小结赋值法般都是根据题目要求，取些特殊值如等。当取值时可以取个或多个，同时解题时要注意避免漏项等情况。构造法二项式定理是恒等式，且定理中的系数是组合数，所以解决有关组合数或者组合恒等式的问题时，常用构造法。例已知的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数的最小值。解由题目可得，所以,设的含的系数为，则又,可得,所以即时此时,所以当时，时，中含项的系数的最小值为。小结这样的题目就是根据题目中式子特征，巧妙地构造二项式函数等来求解。参考文献华东师范大学数学系数学分析北京高等教育出版社王王庆瑞等。组合数学理论与解题上海科学技术文献出版社张尊好张端平。源于二项式定理的类探索性问题中学数学杂志二项式定理的应用杨君河北武邑中学浅谈二项式定理的应用呼伦贝尔学院学报第卷第期宋丽萍张圣管二项式定理的另类用途中学生百科全书年期求值例求的值。解原式例求的值。解，所以注意提取公因式，并适当的合并。求系数和例若，求的值。解因为令,有，令,有。所以原式例已知，求的值。解令,可得又令,可得，所以原式为。注意会观察式子，看适合代入的数。整除问题例求代入公式取Ⅱ封头的厚度封查发酵工厂工艺设计概论表碳钢椭圆封头最大需用内部压力对于上封头，取封对于下封头，取封Ⅲ冷却外套壁厚查发酵工厂工艺设计概论表碳钢与普低钢制内压圆筒壁厚，确定套Ⅳ外套封头壁厚查发酵工厂工艺设计概论表椭圆形封头，确定套封设备结构的工艺设计Ⅰ挡板根据全挡板条件，式中挡板宽度罐径挡板数取块Ⅱ搅拌器采用六弯叶涡轮搅拌器直径现取叶片宽度弧长盘径叶弦长搅拌器间距底距搅拌器转速，根据罐使用为基准放大，罐，搅拌器直径两挡搅拌。Ⅲ搅拌轴功率的计算淀粉水解糖液低浓度细菌醪，可视为牛顿流体。计算式中搅拌器直径，搅拌器转速，醪液密度，醪液粘度，将数代入上式视为湍流，则搅拌功率准数计算不通气时的搅拌轴功率式中在湍流搅拌状态时其值为常数搅拌转速，搅拌器直径，醪液密度，代入上式两挡搅拌计算通风时的轴功率式中不通风时搅拌轴功率，轴转速，搅拌器直径，通风量，设通风比，取低限，如通风量变大，会小，为安全。现取则代入上式求电机功率电电采用三角带传动η滚动轴承η，滑动轴承η端面密封增加功率为代入公式数值得电Ⅳ进风管该管距罐底之间，现取向下单管。通风管管径计算设罐压，发酵温度，风速，通风量为，常压下，送风量为将通风换算成工作状态，求通风管直径圆整，查发酵工厂工艺设计概论，表，无缝钢管，管径采用,内径大于，可满足生产要求。Ⅵ进出物料管该管为物料进口，管底距罐底之间，现取向下单管。按输送物料算送完物料则物料流量为物管道截面为，物料流速为，现取，则物设管径为圆整，查发酵工厂工艺设计概论，表，无缝钢管，管径采用,内径大于，可满足生产要求。Ⅶ冷却水管由前知需冷却热量，冷却水温变化，水比热容则耗水量为取水流速则冷却管直径为支座选型选用支撑式支座级种子罐级种子罐的选型选用机械搅拌通风发酵罐级种子罐容积和数量的确定种子罐容积的确定接种量按计算，则种子罐容积种为种种故选用公称体积为的发酵罐，发酵罐的主要尺寸为罐内径，圆柱高，封头高，罐体总高，封头容积，圆柱部分容积，不计上封头的容积，全容积，搅拌桨直径。冷却选用夹套冷却。级种子罐个数的确定级种子罐与二级种子罐对应上料。二级种子罐平均每天上罐，需级种子罐个。种子罐培养，辅助操作时间，生产周期，因此，级种证能被整除。证明因为又因为所以能被整除。例证明能被整除。证由于各项都能被整除，所以能被整除注意在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情景上来，变形要有定的目的性，要凑出相关的因数。近似计算例求的计算结果精确到的近似值。解例求的近似值，误差小于。解，化简得故命题得证。小结利用求和方法证明组合等式是种常见的方法，常用到下面的等式求探索性问题例是否存在个等比数列，对所有的自然数，都有。证当时，命题显然成立，假设时命题成立，，当,,所以当时成立。所以，对所有的自然数成立，即存在等比数列，使。小结在数学中，要研究知识点的内在联系，不仅要会做题，还要知道做题的技巧，用简单的方法解题，这样才能化复杂为简单，才会有好的效果，也提高了做题效率。二项式定理与排列组合数二项式定理排列从个不同的元素中任取个元素，按照定顺序排列成列，叫做从个不同元素中取出个元素的个排列。组合从个不同的元素中任取个元素组合成组，叫做从个不同元素中取出个元素的个组合。从它们的定义看，它们有着密切的联系。排列组合和二项式定理是高中数学中相对独立的部分，排列组合的知识为概率论和统计中的计数提供了方法，而二项式定理又为排列组合提供了计算的方法和原理，在排列组合中往往使用捆绑法解题，这时我们就用到了二项式定理。在证明中我们可以用二项式定理来证明排列组合，反过来我们也可以用排列组合来证明二项式定理。从运用上看，它们更是分不开了。下面通过几个例子来说明它们密切不分的关系。例人并排站成行，甲乙两人必须不相邻，则有多少种排法解该题把甲乙放在起，把另外人放起，除甲乙外个人排列数，此时就有个空位，我们把甲乙插入个空位有种，所以不同的排法种数是种。例有甲乙丙三项任务，甲需个人承担，乙丙各需个人承担，从个人中选个人承担这三项任务，问有多少种选法解先从个人中选出个人承担甲项任务，在把剩下八个人看封夹套可能实现的冷却面积为封头表标面积封与圆筒被液体浸没的筒体为表面积筒之和封封筒夹夹套高度应不高于动态时的液面高度，因高于液面的传热面积，并没有起多少冷却作用。综上，传热需要的面积该设计夹套能提供的冷却面积为夹夹，可满足工艺要求。设备材料的选择采用钢制作壁厚计算Ⅰ夹套内罐的壁厚式中设备的公称直径，外压容器的稳定系数，与设备的起始椭圆度有关，在我国，设计压力，与水压有关，金属材料的弹性模量，对钢壁厚附加量，筒体长度，将数值