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公司为了能在更高的平台上进行研究与开发，进步增强企 业研发能力，使我国的热处理技术与世界水平接轨，产品在国内处理生产技术的研究开发和成果推广的投入， 保持生态平衡，确保可持续发展。

国内的热处理市场未来将面临激烈的竞争态势，国外知名的跨 国公司已看好国内的热处理市场的良好发展前景，依托雄厚资金及 技术，热处理生产过程中形成大量废气废水废盐剧毒物粉 尘噪声电磁波等对自然环境造成严重的污染，每年付出的治理 费用十分惊人。

国外先进工业国家广泛推行清洁生产，以预防为主， 不断增加对清洁热质量低污染低损耗的可控气氛及大 型真空热处理技术开发及设备制造，以逐步取代老式高能耗高污 染的热处理设备，有很大的发展空间。

在热处理环保方面。

目前国内热处理仍是机械工业中重要的污 染源∙，欧洲先进国家约为∙，日本 约为∙。

我国热处理能源存在很大的浪费，节能的潜力巨 大。

近年来，国家地方在制定发展规划和产业政策时，都明确指 出，要大力发展高技术高质∙，欧洲先进国家约为∙，日本 约为∙。

我国热处理能源存在很大的浪费，节能的潜力巨 大。

近年来，国家地方在制定发展规划和产业政策时，都明确指 出，要大力发展高技术高质量低污染低损耗的可控气氛及大 型真空热处理技术开发及设备制造，以逐步取代老式高能耗高污 染的热处理设备，有很大的发展空间。

在热处理环保方面。

目前国内热处理仍是机械工业中重要的污 染源，热处理生产过程中形成大量废气废水废盐剧毒物粉 尘噪声电磁波等对自然环境造成严重的污染，每年付出的治理 费用十分惊人。

国外先进工业国家广泛推行清洁生产，以预防为主， 不断增加对清洁热处理生产技术的研究开发和成果推广的投入， 保持生态平衡，确保可持续发展。

入比较上式给出的两端的同次幂，给出如果讨论的能级是第个能级，即，由的次幂方程式得即是个待定的常数。

再由级近似下的薛定谔方程得在上式中，当，得能级的级修正为为方便书写起见，略去指标，记同能级中，不同简并态，之间的矩阵元，为，。

因此，上式可改写为上式是个以系数为未知数的线性齐次方程组，它有非零解的条件是其系数行列式为零，即这是个次的久期方程。

由这个久期方程可以解出的个根得将代入上式得必为纯虚数，即为实数。

准确到的级近似，微扰后体系的波函数是上式表明，的贡献无非是使波函数增加了个无关紧要的常数相位因子，那么，不失普遍性，可取因此，准确到级近似，体系的能级和波函数是上式表明，准确到级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的级修正，非对角元给出波函数的级修正。

.二级修正求二级修正需要求解与求级修正的步骤相似，将二级修正波函数按展开将此式代入上式得以左乘上式，并对全空间进行积分后得当时，得，考虑到，由上式得当时，由上式得至于，同样可以由波函数的归条件算出，由得或同样，若取为实数，那么由上式得综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。

.非简并定态微扰的讨论由微扰后的能级可知，微扰实用的条件是只有满足该式，才能满足微扰级数的收敛性，保证微扰级数中最后项小于前项。

这就是的明确表示，微扰方法能否应用，不仅决定于微扰的大小，而且决定于微扰的大小，而且还决定于无微扰体系两个能级之间的间距。

只有当微扰算符在两个无微扰体系波函数之间的矩阵元的绝对值远小于五微扰体系相应的两能级间隔时，才能用微扰论来计算。

这就是为什么必须要求作微扰计算的能级处于分立谱，因为如果能级是连续谱，它和相邻的能级的能级间距趋于零，对于除能外的其他所有能级，是不可能都被满足的。

如何在中划分和十分重要，和取得好，上式不仅可以满足，而且可以使级数收敛的很快，避免了繁长的微扰计算。

般，除了要求的本征值和本征函数必须已知外，还可以从体系的对称性及微扰矩阵元是否满足定的选择定则来考虑划分和。

能量本征函数和本征值的二级修.简并定态微扰论原来相应于第个能级的各个简并本征函数的线性组合，其组合系数由久期方程决定。

般地，如果久期方程无重根，将求得的代入原则上可以求出组不同的解，那么可以求出个零级近似的波函数。

.简并定态微扰论的讨论简并来自对守恒量的不完全测量。

每个守恒量对应于种对称性。

若由这个次的久期方程解出的无重根，那么，无微扰能级经微扰后分裂为条，它们的波函数由各自对应的表示。

这时，简并将完全消除，原来带来简并的对称性或守恒量将发生或缺。

同理，若有重根，只要不是重根，都将部分地消除简并，引起部分对称或缺。

经过重新组合后的零级波函数彼此互相正交，满足。

在属于的维子空间中，若经过非简并微扰方法重新组合后的为基矢，则有由上式可知，在经过非简并微扰方法处理后的简并态构成的子空间中，对应对角矩阵。

因此，简并微扰方法的主要精神在于重新组合简并态的零级波函数，使得在简并态子空间中对角化。

在经过这样的处理后，能量的级修正，与非简并微扰的公式完全相同。

简并微扰的核心问题在于对简并子空间的基底的选择，在于重新选择零级波函数以使得在简并子空间对角化，则对角线上的元素就是能量的本征值。

若最初的零级的简并波函数本身就能使得对角化，即则，由将得出。

无须再去重新组合零级波函数。

简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。

结束语在量子力学中，由于体系的哈密顿函数比较复杂，往往不能求得准确的，.，而只能求得近似解。

因此用来求问题的近似解的方法，就显得很重要。

那么，在上文，我们分别讨论了非简并定态微扰论和简并定态微扰论，并简单论述了它的理论推导。

由此，我们可以得知，近似方法的精神就是从简单问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。

近似方法除了上文介绍的非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论外，还有含时微扰理论和变分法等等。

参考文献苏如铿．量子力学．高等教育出版社周世勋．量子力学教程．高等教育出版社曾谨言．量子力学卷第版．科学出版社钱伯初．量子力学．高等教育出版社，.刘觉平．普通高等教育十五国家级规划教材量子力学．高等教育出版社张永德.量子力学.科学出版社普通高等教育“十五”国家级规划教材曾谨言.量子力学导论.北京大学出版社出版钱伯初，曾谨言.量子力学习题精选与剖析.科学出版社出版，年第二版。

，.，的第个能级的修正，就要求无简并，它相应的波函数只有个。

其他能级既可以是简并的，也可以不是简并的。

的能级组成分立谱，或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计算它的修正的那个能级处于分立谱内，是束缚态。

在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的的本征值和本征函数近似求出的本征值和本征函数。

为表征微扰的近似程度，通常可引进个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。

体系经微扰后的薛定谔方程是将能级和波函数按展开，，分别表示能级和波函数的级，二级修正。

将上两式代入薛定谔方程中得然后比较上式两端的的同次幂，可得出各级近似下的方程式零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到，等各级的近似方程式。

.级微扰求级微扰修正只需要求解。

由于厄米，的本征函数系系展开将此式代入的近似薛定谔方程中的为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归性后，得当时，得当时，得那么接下来计算，利用的归条件，在准确到数量级后，又因波函数归由相应的级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是种逐步逼近法。

关于的讨论由得出，若设我们将看成个可变化的参数，则显然当时，，这时体系未受到微扰的影响当时，，微扰全部加进去了。

因此可以想象体系当从缓慢变化到的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。

.海曼费曼定理设是的函数，因此他的本征方程和归条件为由上式得上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。

简并定态微扰论.理论简述除维束缚态外，般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。

假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数.。

与简并微扰不同，现在由于不知道在这个本征函数中应该取哪个作为无微扰本征函数。

因此，简并微扰要解决的第个问题就是如何适当选择零级波函数进行微扰计算。

设的本征方程是归化条件是的本征方程是由于是完备系，将按展开后，得将此式代入上式得以左乘上式两端，对全空间进行积分后有其中按微扰的精神，将的本征值和在表象中的本征函数按的幂级数作微扰展开后得再将这两式代