1、“.....那么,当且仅当时取等号证明设则,令得,因为,所以函数在区间,内只有个极值点,因此在有,于是,即,当且仅当时取等号分别取引理中的为,则有，第页，，，上述个式子相乘得即故式成立且当且仅当时等号成立柯西不等式的应用柯西不等式是个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使些较为困难的问题迎刃而解，并且恒成立,所以即当且仅当,即时等号成立第页简单情形先讨论这情形例设那么,当且仅当时等号成立证明如下图设,,显然三角形与三角形的面积之和不小于矩形的面积令,可得二维已证......”。

2、“.....的平均值之间的关系，先介绍些有关的知识和结论对于任意两列数,④作和,其中,分别是,④的任排列现在，要确定在所有可能的这种和数中怎样的和最大怎样的和最小引理排序原理给定的两列数,④设,则在所有的和数中最大最小且两者相等的充要条件是或者证明若所有的相等或所有的相等,则切和数都等于和因而引理得证今设中有不相等的数,例,考察这两个和数中仅与互换了位置其它各项不变,于是从此式可看出若全不相等,则必存在,从而此时,当然最小最大若,则若则这表明,的大小关系次序相同时的和数要比它们的大小次序相反时的和数来的大由此推知当与同序时和数最大而当,反序时和数最小于是最大第页最小引理设,为任意正数，则它们的算术平均值和几何平均值满足,当且仅当时等号成立证明令,......”。

3、“.....在中从小到大也排在第位,故由排序原理知电子琴。这两种电子琴都能在发出自己固有音色的同时，还能模仿其他乐器及自然界的些声音。他们都带有自动节奏和伴奏功能，这是它有别于其它键盘乐器的重要特征。便携式电子琴和立式电子琴在教学方法上很接近，但在教材采用上则稍有不同立式的电子琴则从自己的祖先管风琴那里得到丰富的训练体系，而便携式电子琴在训练演奏能力时采用许多钢琴练习的内容。时下，音乐播放器已经成为人们生活中不可或缺的必备品。它的诞生等式山东山东科学技术出版社,陈计,叶中豪初等数学前沿南京南京教育出版社,仿此推之，对任何正整数可得现设,并令,则,即亦即易知,当且仅当时等号成立柯西所使用的方法,其实是数学归纳法基本技巧的变形在柯西的启发下得到了以下几种证明方法证明首先利用数学归纳法证明不等式对所有形如,的整数成立当时,......”。

4、“.....且时等号成立现在假设不等式对的整数成立,即，其中,令第页，,,则,仍是正数，应用上面的不等式,得,但代入不等式即得这就证明了对的整数也成立于是，根据归纳原理，不等式对所有形如,的整数都成立逐步调整法首先建立下面的简单结论引理正实数与的和为定值,则当差愈小时乘积愈大,特别当时最大证明因为所以由此看出当愈小时减数愈小,因而差愈大,于是乘积愈大特别当时,差最大,因而乘积最大例个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题证明相关命题例用柯西不等式推导点到直线的距离公式已知点,及直线,设点是直线上的任意点,则点两点间的距离就是点到直线的距离,求式有最小值,有由得即当且仅当式取等号......”。

5、“.....满足,,试求的最值解由柯西不等式得，有即由条件可得解得，当且仅当时等号成立,代入时，时,柯西不等式的推广前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的,在复数范围内同样也有柯西不等式成立定理若,和,是两个复数序列，则有，当且仅当数列和成比例时等式成立证明设是复数，有恒等式第页若其中,则有由此推出了复数形式的柯西不等式第页参考文献现在利用逐步调整法来证明不等式证明设若,则第页若,不全相等,不妨设,令,,,则仍有且由引理知因而,若,,,仍不全相等,则可用上面的方法,把这组正数调整为使它们的和不变,但有如此下去,经有限步后,必可调整到组新数,使得......”。

6、“.....让动听的声音有了存储的载体，得以广泛的传播和分享。现在让我来介绍音乐播放器的发展史。年月，爱迪生公开表演了留声机，会说话的机器诞生的消息，立刻轰动了全世界。外界舆论马上把他誉为科学界之拿破仑，留声机也成为世纪最引人振奋的三大发明之。年，丹麦的波尔森发明了钢丝录音机，从此，以硬磁性材料为载体，利用磁性材料的剩磁特性将声音信号记录在载体，具有重放录音功能的磁带录音机开始在家庭普及。随着社会的发展和科技的进步，人们对音色品质的追求越来越高。老式录音机音色简单苍白的特性，使其逐渐被社会淘汰。代表着更清晰立体声更浑厚音质的播放器正式登上舞台。年，世界上第台播放器同时也是索尼生产的第台播放器诞生了。的出现，依靠完美的音质表现快捷搜歌方便携带等功能，风靡了播放器市场多年之久。直到的出现。尽管年月日发布的第款实时软件播放器，已经让许多人能够在自己的个人电脑上编码和回放文件，音乐播放器的智能时代正式来临，但是由于和互联网的发展所限，并没有获得广泛的普及。直到年月,苹果公司推出了第代，将播放器演绎到艺术与文化的境界......”。

7、“.....操作智能，而且外形时尚，经推出，即刻获到全球范围内的热捧,苹果公司之所以强大，除了自身强大的研发能力和创新意识以外，善于利用外设厂商资源，也是其成功的重要环。在苹果的研发基地，来自全球多家顶尖配件厂商共同参与苹果每款新品的研发过程。世界顶级音响制造品牌哈曼卡顿全球最知名的三大耳机品牌都量身为打造完美的声音输出设备，让完美的音质得以淋漓尽致的展现,音乐播放器发展到现在，越来越趋向智能化多功能合，比如传闻即将在国内上市的手机，可以实现手机上网本的强大功能。但说到底，它还是以收听音乐为主，因此，音乐播放器选择专业的外接设备做配件哈曼卡顿音箱耳机，也必将成为未来发展的趋势。随着发展我们对电子琴的要求越来越高，但是现在的电子琴大多都没有播放音乐的功能。而目前流行的，播放器的相当好，但略感遗憾的是除了显示歌曲和显示歌名外，绝大部分播放器没有电子琴的自弹键脚键盘，能模拟多种音色，这种琴于年申请专利权，年开始大量生产。仅年就销售多台。不过哈蒙德琴因为发声原理为机电，故只能称为第台电风琴......”。

8、“.....总的来说，电子琴的发明是从年代到年代。而常见的单排键电子琴是年代发明的。作为种新兴的乐器，电子琴的历史不像此前的机械键盘乐器那样悠久。现在讲讲电子琴这种键盘乐器，断系统定时器计时器等功能可能还包括显示驱动电路脉宽调制电路模拟多路转换器转换器等电路集成到块硅片上构成的个小而完善的计算机系统。是种低功耗高性能位微控制器，具有在系统可编程存储器。使用公司高密度非易失性存储器技术制造，与工业产品指令和引脚完全兼容。片上允许程序存储器在系统可编程，亦适所以微分法先证明个引理引理设,那么,当且仅当时取等号证明设则,令得,因为,所以函数在区间,内只有个极值点,因此在有,于是,即,当且仅当时取等号分别取引理中的为,则有，第页，，......”。

9、“.....灵活巧妙的应用运用它，可以使些较为困难的问题迎刃而解，并且恒成立,所以即当且仅当,即时等号成立第页简单情形先讨论这情形例设那么,当且仅当时等号成立证明如下图设,,显然三角形与三角形的面积之和不小于矩形的面积令,可得二维已证，四维时八维时这样的步骤重复次之后将会得到令由这个不等式有即得到第页般情形排序不等式法为了讨论个正数,的平均值之间的关系，先介绍些有关的知识和结论对于任意两列数,④作和,其中,分别是,④的任排列现在，要确定在所有可能的这种和数中怎样的和最大怎样的和最小引理排序原理给定的两列数,④设,则在所有的和数中最大最小且两者相等的充要条件是或者证明若所有的相等或所有的相等,则切和数都等于和因而引理得证今设中有不相等的数......”。