1、“.....可利用定态非简并微扰论从已知的的本征值和本征函数近似求出的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是将能级和波函数按展开，，分别表示能级和波函数的级，二级修正。将上两式代入薛定谔方程中得然后比较上式两端的的同次幂，可得出各级近似下的方程式零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到，等各级的近似方程式。级微扰求级微扰修正只需要求解。由于厄米，的本征函数系系展开将此式代入的近似薛定谔方程中的为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归性后，得当时，得当时，得那么接下来计算，利用的归条件，在准确到数量级后，又因波函数归由相应的级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是种逐步逼近法。关于的讨论由得出，若设我们将看成个可变化的参数......”。

2、“.....，这时体系未受到微扰的影响当时，，微扰全部加进去了。因此可以想象体系当从缓慢变化到的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。海曼费曼定理设是的函数，因此他的本征方程和归条件为由上式得上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。简并定态微扰论理论简述除维束缚态外，般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数。与简并微扰不同，现在由于不知道在这个本征函数中应该取哪个作为无微扰本征函数。因此，简并微扰要解决的第个问题就是如何适当选择零级波函数进行微扰计算。设的本征方程是归化条件是的本征方程是由于是完备系，将按展开后，得将此式代入上式得以左乘上式两端，对全空间进行积分后有其中按微扰的精神，将的本征值和在表象中的本征函数按的幂级数作微扰展开后得再将这两式代入比较上式给出的两端的同次幂，给出如果讨论的能级是第个能级，即，由的次幂方程式得即是个待定的常数。再由级近似下的薛定谔方程得在上式中......”。

3、“.....得能级的级修正为为方便书写起见，略去指标，记同原来相应于第个能级的各个简并本征函数的线性组合，其组合系数由久期方程决定。般地，如果久期方程无重根，将求得的代入原则上可以求出组不同的解，那么可以求出个零级近似的波函数。简并定态微扰论的讨论简并来自对守恒量的不完全测量。每个守恒量对应于种对称性。若由这个次的久期方程解出的无重根，那么，无微扰能级经微扰后分裂为条，它们的波函数由各自对应的表示。这时，简并将完全消除，原来带来简并的对称性或守恒量将发生或缺。同理，若有重根，只要不是重根，都将部分地消除简并，引起部分对称或缺。经过重新组合后的零级波函数彼此互相正交，满足。在属于的维子空间中，若经过非简并微扰方法重新组合后的为基矢，则有由上式可知，在经过非简并微扰方法处理后的简并态构成的子空间中，对应对角矩阵。因此，简并微扰方法的主要精神在于重新组合简并态的零级波函数，使得在简并态子空间中对角化。在经过这样的处理后，能量的级修正，与非简并微扰的公式完全相同。简并微扰的核心问题在于对简并子空间的基底的选择，在于重新选择零级波函数以使得在简并子空间对角化......”。

4、“.....若最初的零级的简并波函数本身就能使得对角化，即则，由将得出。无须再去重新组合零级波函数。简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。结束语在量子力学中，由于体系的哈密顿函数比较复杂，往往不能求得准确的,，而只能求得近似解。因此用来求问题的近似解的方法，就显得很重要。那么，在上文，我们分别讨论了非简并定态微扰论和简并定态微扰论，并简单论述了它的理论推导。由此，我们可以得知，近似方法的精神就是从简单问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。近似方法除了上文介绍的非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论外，还有含时微扰理论和变分法等等。参考文献苏如铿量子力学高等教育出版社周世勋量子力学教程高等教育出版社曾谨言量子力学卷第版科学出版社钱伯初量子力学高等教育出版社,刘觉平普通高等教育十五国家级规划教材量子力学高等教育出版社张永德量子力学科学出版社普通高等教育十五国家级规划教材曾谨言量子力学导论北京大学出版社出版钱伯初，曾谨言量子力学习题精选与剖析科学出版社出版，年第二版。,,的第个能级的修正，就要求无简并，它相应的波函数只有个。其他能级既可以是简并的，也可以不是简并的......”。

5、“.....或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计算它的修正的那个能级处于分立谱内，是束缚态。能级中，不同简并态，之间的矩阵元,为,。因此，上式可改写为上式是个以系数为未知数的线性齐次方程组，它有非零解的条件是其系数行列式为零，即这是个次的久期方程。由这个久期方程可以解出的个根得将代入上式得必为纯虚数，即为实数。准确到的级近似，微扰后体系的波函数是上式表明，的贡献无非是使波函数增加了个无关紧要的常数相位因子，那么，不失普遍性，可取因此，准确到级近似，体系的能级和波函数是上式表明，准确到级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的级修正，非对角元给出波函数的级修正。二级修正求二级修正需要求解与求级修正的步骤相似，将二级修正波函数按展开将此式代入上式得以左乘上式，并对全空间进行积分后得当时，得，考虑到，由上式得当时，由上式得至于，同样可以由波函数的归条件算出，由得或同样，若取为实数，那么由上式得综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。非简并定态微扰的讨论由微扰后的能级可知......”。

6、“.....我们在示波器上就可以明显的观测到高阶边带，而不是单纯的阶边带。三阶边带四阶边带二阶边带阶边带三阶边带阶边带二阶边带四阶边带五阶边带相位锁定如图所示，较上面的图是通过腔观察到的经两个相位调制器调整后的主频和阶边带，通过改变两个相位调制器的相位，主频和阶边带会幅度会发生相应的变化，图中为两个相位调制器的相位差为时的图，继续减小腔的扫腔幅度，就会得到只有阶边带的图，如中间图所示，将此信号所携带的相位信息送入锁相放大器解调出相位差为的信号，最下面的图为此时解调出的鉴相信号，通过鉴相反馈，使相位差稳定在附近，反应到边带幅度上就是幅度最大当两相位调制器的相位差为时，通过鉴相反馈会使其边带幅度稳定在最小。如图所示，较上面的图是没加鉴相反馈时，定时间内的边带幅度随时间随机起伏下图为加上鉴相反馈后，定时间内边带幅度随时间的起伏明显减小。由图可以得出，加上反馈后，边带幅度基本稳定，间接反应了相位差的稳定，即达到了相位差锁定的目的。图图上图为没加反馈时，定时间内阶边带幅度随时间的变化下图为加上反馈后，段时间内阶边带幅度随时间的变化相位差被稳定在......”。

7、“.....实验测量相位差变化对边带相干结果的影响，并提出了种锁定相位差的方法，通过实时跟踪反馈第二个相位调制器的相位，使两个相位调制器的相位差稳定在。另外研究改变该实验系统的调制深度，进行相应的边带测量，发现当调制深度逐渐变大时，高阶的边带逐渐变得明显。如果对这些高阶边带进行进步的分析，我们可能会得到更多的信息。参考文献,,,,,,带与载波相作用时，对应不同的调制深度时，将引起色散谱线线型幅度的变化。理论模拟了对应不同调制度的色散谱线线型，如图所示图色散型曲线线型随调制幅度的变化在图中，横坐标表示激光频率与腔共振频率的失谐量，纵坐标表示探测器上所产生的光电流大小。谐振腔长设为，调制频率为，对应的调制深度分别为，，的情景，当调制深度逐渐增加时，其拍频光电流变大，鉴频曲线的幅度变大，这有助于提高激光信号的信噪比。图控制灵敏度随调制深度变化而当调制深度改变时，不仅影响鉴频信号幅度的变化，而且也将影响到鉴频曲线的中心斜率。图是鉴频曲线中心斜率随调制深度变化的情况，分别对应调制度，，的情况，调制深度增加曲线越陡，鉴频曲线的斜率就越高，控制灵敏度就增加......”。

8、“.....因而能提高频率控制精确，故综上所述，当调制深度小于时，二阶以上的边带很小，结合实验条件，实验中取调制深度小于。调制频率对色散谱线线型的影响调制频率的选取与激光的幅度噪声激光幅度噪声的存在会影响光谱信号的信噪比，导致激光频率锁定精度降低，激光的幅度噪声主要分布在低频部分。利用射频信号对激光进行调制，使得探测信号的频率移到射频区域，这样就可避开幅度噪声很大的低频区域。如图，当调制频率大于时，幅度噪声下降个量级相当于，达到散粒噪声的水平。调制频率选择对鉴频曲线的斜率的影响图鉴频微在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的的本征值和本征函数近似求出的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是将能级和波函数按展开，，分别表示能级和波函数的级，二级修正。将上两式代入薛定谔方程中得然后比较上式两端的的同次幂......”。

9、“.....同样还可以列出准确到，等各级的近似方程式。级微扰求级微扰修正只需要求解。由于厄米，的本征函数系系展开将此式代入的近似薛定谔方程中的为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归性后，得当时，得当时，得那么接下来计算，利用的归条件，在准确到数量级后，又因波函数归由相应的级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是种逐步逼近法。关于的讨论由得出，若设我们将看成个可变化的参数，则显然当时，，这时体系未受到微扰的影响当时，，微扰全部加进去了。因此可以想象体系当从缓慢变化到的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。海曼费曼定理设是的函数，因此他的本征方程和归条件为由上式得上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。简并定态微扰论理论简述除维束缚态外，般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数......”。