（定稿）某河段水利综合治理工程投资立项申报书4（喜欢就下吧）

为表征微扰的近似程度，通常可引进个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。

体系经微扰后的薛定谔方程是将能级和波函数按展开，，分别表示能级和波函数的级，二级修正。

将上两式代入薛定谔方程中得然后比较上式两端的的同次幂，可得出各级近似下的方程式零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到，等各级的近似方程式。

级微扰求级微扰修正只需要求解。

由于厄米，的本征函数系系展开将此式代入的近似薛定谔方程中的为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归性后，得当时，得当时，得那么接下来计算，利用的归条件，在准确到数量级后，又因波函数归由相应的级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是种逐步逼近法。

关于的讨论由得出，若设我们将看成个可变化的参数，则显然当时，，这时体系未受到微扰的影响当时，，微扰全部加进去了。

因此可以想象体系当从缓慢变化到的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。

海曼费曼定理设是的函数，因此他的本征方程和归条件为由上式得上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。

简并定态微扰论理论简述除维束缚态外，般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。

假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数。

与简并微扰不同，现在由于不知道在这个本征函数中应该取哪个作为无微扰本征函数。

因此，简并微扰要解决的第个问题就是如何适当选择零级波函数进行微扰计算。

设的本征方程是归化条件是的本征方程是由于是完备系，将按展开后，得将此式代入上式得以左乘上式两端，对全空间进行积分后有其中按微扰的精神，将的本征值和在表象中的本征函数按的幂级数作微扰展开后得再将这两式代入比较上式给出的两端的同次幂，给出如果讨论的能级是第个能级，即，由的次幂方程式得即是个待定的常数。

再由级近似下的薛定谔方程得在上式中，当，得能级的级修正为为方便书写起见，略去指标，记同原来相应于第个能级的各个简并本征函数的线性组合，其组合系数由久期方程决定。

般地，如果久期方程无重根，将求得的代入原则上可以求出组不同的解，那么可以求出个零级近似的波函数。

简并定态微扰论的讨论简并来自对守恒量的不完全测量。

每个守恒量对应于种对称性。

若由这个次的久期方程解出的无重根，那么，无微扰能级经微扰后分裂为条，它们的波函数由各自对应的表示。

这时，简并将完全消除，原来带来简并的对称性或守恒量将发生或缺。

同理，若有重根，只要不是重根，都将部分地消除简并，引起部分对称或缺。

经过重新组合后的零级波函数彼此互相正交，满足。

在属于的维子空间中，若经过非简并微扰方法重新组合后的为基矢，则有由上式可知，在经过非简并微扰方法处理后的简并态构成的子空间中，对应对角矩阵。

因此，简并微扰方法的主要精神在于重新组合简并态的零级波函数，使得在简并态子空间中对角化。

在经过这样的处理后，能量的级修正，与非简并微扰的公式完全相同。

简并微扰的核心问题在于对简并子空间的基底的选择，在于重新选择零级波函数以使得在简并子空间对角化，则对角线上的元素就是能量的本征值。

若最初的零级的简并波函数本身就能使得对角化，即则，由将得出。

无须再去重新组合零级波函数。

简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。

结束语在量子力学中，由于体系的哈密顿函数比较复杂，往往不能求得准确的，，而只能求得近似解。

因此用来求问题的近似解的方法，就显得很重要。

那么，在上文，我们分别讨论了非简并定态微扰论和简并定态微扰论，并简单论述了它的理论推导。

由此，我们可以得知，近似方法的精神就是从简单问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。

近似方法除了上文介绍的非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论外，还有含时微扰理论和变分法等等。

参考文献苏如铿量子力学高等教育出版社周世勋量子力学教程高等教育出版社曾谨言量子力学卷第版科学出版社钱伯初量子力学高等教育出版社，刘觉平普通高等教育十五国家级规划教材量子力学高等教育出版社张永德量子力学科学出版社普通高等教育十五国家级规划教材曾谨言量子力学导论北京大学出版社出版钱伯初，曾谨言量子力学习题精选与剖析科学出版社出版，年第二版。

，，的第个能级的修正，就要求无简并，它相应的波函数只有个。

其他能级既可以是简并的，也可以不是简并的。

的能级组成分立谱，或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计算它的修正的那个能级处于分立谱内，是束缚态。

能级中，不同简并态，之间的矩阵元，为，。

因此，上式可改写为上式是个以系数为未知数的线性齐次方程组，它有非零解的条件是其系数行列式为零，即这是个次的久期方程。

由这个久期方程可以解出的个根得将代入上式得必为纯虚数，即为实数。

准确到的级近似，微扰后体系的波函数是上式表明，的贡献无非是使波函数增加了个无关紧要的常数相位因子，那么，不失普遍性，可取因此，准确到级近似，体系的能级和波函数是上式表明，准确到级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的级修正，非对角元给出波函数的级修正。

二级修正求二级修正需要求解与求级修正的步骤相似，将二级修正波函数按展开将此式代入上式得以左乘上式，并对全空间进行积分后得当时，得，考虑到，由上式得当时，由上式得至于，同样可以由波函数的归条件算出，由得或同样，若取为实数，那么由上式得综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。

非简并定态微扰的讨论由微扰后的能级可知，扰实，在之后，随着氧化剂含量的增加，去除率随之增加，这是因为氧化剂含量增加，化学反应作用增强，材料去除率增大。

用图表示如下分散剂抛光前质量抛光后质量去除率氧化剂抛光前质量抛光后质量去除率去除率氧化剂去除率图氧化剂含量对去除率的影响值与去除率的关系表值对去除率的试验结果由上表可以看出值与去除率的关系不是规律的，随着值的增大，去除率先减小后增加，但在时，去除率是最大的，在时，去除率是最小的。

用图表示如下值抛光前质量抛光后质量去除率去除率值去除率图值对去除率的影响硅溶胶粒径与去除率的关系表硅溶胶粒径对去除率的试验结果由上表可以得出硅溶胶粒径与去除率的关系是随着粒径的增大，去除率增大，用图表示如下，由图可知，材料的去除量与磨料的粒径有关，磨料的粒度越大，材料去除量也越大。

磨料粒径增大，磨料与晶片表面接触面间的机械作用环境温度。

抛光液成分为分散剂，氧化剂，值为，硅溶胶粒径为，硅溶胶含量为，金刚石粒径为，金刚石含量为时的抛光效果相对较好。

致谢本论文是在导师苏教授和两位师哥师姐的悉心指导下完成的。

导师严谨的治学态度，精益求精的工作态度，无论是现在还是将来都是我学习的典范。

在师哥师姐的指导和帮助下，我顺利完成了本次试验，并从中学到很多以前不曾涉及的知识。

在论文完成之际，特向导师以及师哥师姐表示衷心的感谢，并致以崇高的敬意。

最后，感谢参与论文评审和答辩的各位老师，能在百忙之中对我的论文进行评阅和审议。

参考文献，，，王世忠等单晶的性质生长及应用无机材料学报，，，雷天民新型电力电子材料晶体薄膜材料的制备及性能分析西安西安理工大学，，，，，郝寅雷，赵文兴，翁志成新型反射镜碳化硅宇航材料工艺周松青，肖汉宁碳化硅陶瓷摩擦化学磨损机理及磨损图的研究硅酸盐学报狄卫国，杨明，刘玉岭超大规模集成电路制备中硅衬底抛光液研究石家庄铁道学院学报，年第期，第卷李娟，陈秀芳，马德营等，单晶片的超精密加工，功能材料，年，第期卷杜家熙，苏建修，万秀颖，宁欣。

单晶硅片化学机械抛光材料去除特性，北京科技大学学报，收录肖强，李言，李淑娟单晶片加工技术的发展，技术新工艺热加工工艺技术与材料研究，年，第期肖强，李言，李淑娟单晶片超精密加工技术现状与趋势，宇航材料工艺，年，第期度，所以误差的自由度。

为均方，其中。

表方差分析来源总因素影响次序由此可知，金刚石粒径对材料的去除率影响最大，其次是金刚石含量，然后是值，分散剂和硅溶胶粒径对材料去除率的影响非常接近，氧化剂对材料去除率影响最小。

确定金刚石粒径和含量是影响材料去除率的主要因素见表，下面通过计算找出金刚石粒径和含量的最优组合。

表与的相互作用表其中的数据表示因素与因素在相同水平时对材料去除率的平均值，所以所得的数值应该是越大越好，表中最大的数是，其所对应的组合为，与上面极差分析法所得结论是致的，故最优组合为单因素试验综合以上试验分析结果得出最优组合，由于正交试验的试验次数是有限的，没有覆盖各种因素的所有组合，所以在经过分析得出的最优组合时，也只是个估计组合，它是否是微在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的的本征值和本征函数近似求出的本征值和本征函数。

为表征微扰的近似程度，通常可引进个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。

体系经微扰后的薛定谔方程是将能级和波函数按展开，，分别表示能级和波函数的级，二级修正。

将上两式代入薛定谔方程中得然后比较上式两端的的同次幂，可得出各级近似下的方程式零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到，等各级的近似方程式。

级微扰求级微扰修正只需要求解。

由于厄米，的本征函数系系展开将此式代入的近似薛定谔方程中的为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归性后，得当时，得当时，得那么接下来计算，利用的归条件，在准确到数量级后，又因波函数归由相应的级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是种逐步逼近法。

关于的讨论由得出，若设我们将看成个可变化的参数，则显然当时，，这时体系未受到微扰的影响当时，，微扰全部加进去了。

因此可以想象体系当从缓慢变化到的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。

海曼费曼定理设是的函数，因此他的本征方程和归条件为由上式得上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。

简并定态微扰论理论简述除维束缚态外，般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。

假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数。

与简并微扰不同，现在由于不知道在这个本征函数中应该取哪个作为无微扰本征函数。

因此，简并微扰要解决的第个问题就是如何适当选择零级波函数进行微扰计算。

设的本征方程是归化条件是的本征方程是由于是完备系，将按展开后，得将此式代入上式得以左乘上式两端，对全空间进行积分后有其中按微扰的精神，将的本征值和在表象中的本征函数按的幂级数作微扰展开后得再将这两式代入比较上式给出的两端的同次幂，给出如果讨论的能级是第个能级，即，由的次幂方程式得即是个待定的常数。

再由级近似下的薛定谔方程得在上式中，当，得能级的级修正为为方便书写起见，略去指标，记同原来相应于第个能级的各个简并本征函数的线性组合，其组合系数由久期方程决定。

般地，如果久期方程无重根，将求得的代入原则上可以求出组不同的解，那么可以求出个零级近似的波函数。

简并定态微扰论的讨论简并来自对守恒量的不完全测量。

每个守恒量对应于种对称性。

若由这个次的久期方程解出的无重根，那么，无微扰能级经微扰后分裂为条，它们的波函数由各自对应的表示。

这时，简并将完全消除，原来带来简并的对称性或守恒量将发生或缺。

同理，若有重根，只要不是重根，都将部