微原来相应于第个能级的各个简并本征函数的线性组合，其组合系数由久期方程决定。般地，如果久期方程无重根，将求得的代入原则上可以求出组不同的解，那么可以求出个零级近似的波函数。简并定态微扰论的讨论简并来自对守恒量的不完全测量。每个守恒量对应于种对称性。若由这个次的久期方程解出的无重根，那么，无微扰能级经微扰后分裂为条，它们的波函数由各自对应的表示。这时，简并将完全消除，原来带来简并的对称性或守恒量将发生或缺。同理，若有重根，只要不是重根，都将部分地消除简并，引起部分对称或缺。经过重新组合后的零级波函数彼此互相正交，满足。在属于的维子空间中，若经过非简并微扰方法重新组合后的为基矢，则有由上式可知，在经过非简并微扰方法处理后的简并态构成的子空间中，对应对角矩阵。因此，简并微扰方法的主要精神在于重新组合简并态的零级波函数，使得在简并态子空间中对角化。在经过这样的处理后，能量的级修正，与非简并微扰的公式完全相同。简并微扰的核心问题在于对简并子空间的基底的选择，在于重新选择零级波函数以使得在简并子空间对角化，则对角线上的元素就是能量的本征值。若最初的零级的简并波函数本身就能使得对角化，即则，由将得出。无须再去重新组合零级波函数。简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。结束语在量子力学中，由于体系的哈密顿函数比较复杂，往往不能求得准确的,，而只能求得近似解。因此用来求问题的近似解的方法，就显得很重要。那么，在上文，我们分别讨论了非简并定态微扰论和简并定态微扰论，并简单论述了它的理论推导。由此，我们可以得知，近似方法的精神就是从简单问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。近似方法除了上文介绍的非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论外，还有含时微扰理论和变分法等等。参考文献苏如铿量子力学高等教育出版社周世勋量子力学教程高等教育出版社曾谨言量子力学卷第版科学出版社钱伯初量子力学高等教育出版社,刘觉平普通高等教育十五国家级规划教材量子力学高等教育出版社张永德量子力学科学出版社普通高等教育十五国家级规划教材曾谨言量子力学导论北京大学出版社出版钱伯初，曾谨言量子力学习题精选与剖析科学出版社出版，年第二版。,,的第个能级的修正，就要求无简并，它相应的波函数只有个。其他能级既可以是简并的，也可以不是简并的。的能级组成分立谱，或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计算它的修正的那个能级处于分立谱内，是束缚态。在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的的本征值和本征函数近似求出的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是将能级和波函数按展开，，分别表示能级和波函数的级，二级修正。将上两式代入薛定谔方程中得然后比较上式两端的的同次幂，可得出各级近似下的方程式零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到，等各级的近似方程式。级微扰求级微扰修正只需要求解。由于厄米，的本征函数系系展开将此式代入的近似薛定谔方程中的为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归性后，得当时，得当时，得那么接下来计算，利用的归条件，在准确到数量级后，又因波函数归由相应的级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是种逐步逼近法。关于的讨论由得出，若设我们将看成个可变化的参数，则显然当时，，这时体系未受到微扰的影响当时，，微扰全部加进去了。因此可以想象体系当从缓慢变化到的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。海曼费曼定理设是的函数，因此他的本征方程和归条件为由上式得上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。简并定态微扰论理论简述除维束缚态外，般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数。与简并微扰不同，现在由于不知道在这个本征函数中应该取哪个作为无微扰本征函数。因此，简并微扰要解决的第个问题就是如何适当选择零级波函数进行微扰计算。设的本征方程是归化条件是的本征方程是由于是完备系，将按展开后，得将此式代入上式得以左乘上式两端，对全空间进行积分后有其中按微扰的精神，将的本征值和在表象中的本征函数按的幂级数作微扰展开后得再将这两式代入比较上式给出的两端的同次幂，给出如果讨论的能级是第个能级，即，由的次幂方程式得即是个待定的常数。再由级近似下的薛定谔方程得在上式中，当，得能级的级修正为为方便书写起见，略去指标，记同能级中，不同简并态，之间的矩阵元,为,。因此，上式可改写为上式是个以系数为未知数的线性齐次方程组，它有非零解的条件是其系数行列式为零，即这是个次的久期方程。由这个久期方程可以解出的个根得将代入上式得必为纯虚数，即为实数。准确到的级近似，微扰后体系的波函数是上式表明，的贡献无非是使波函数增加了个无关紧要的常数相位因子，那么，不失普遍性，可取因此，准确到级近似，体系的能级和波函数是上式表明，准确到级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的级修正，非对角元给出波函数的级修正。二级修正求二级修正需要求解与求级修正的步骤相似，将二级修正波函数按展开将此式代入上式得以左乘上式，并对全空间进行积分后得当时，得，考虑到，由上式得当时，由上式得至于，同样可以由波函数的归条件算出，由得或同样，若取为实数，那么由上式得综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。非简并定态微扰的讨论由微扰后的能级可知，扰实舱与矫正步骤将外弯角钢和内弯角钢放在圆筒铁砧或带孔的平台上。步骤对外弯角钢，捶击两直角边的边缘，从边缘往里捶击，如图所示对内弯角钢，捶击两直角边的根部，如图所示。步骤将扭曲角钢的端夹紧在台虎钳上。步骤用呆扳手夹住角钢另端的直角边，用力使角钢沿相反的方向扭转，并稍微超过角钢的正常状态。如图所示。步骤反复几次基本消除角钢的扭曲变形。圆钢变形的矫正如图所示。圆钢多为弯曲变形，其矫直只需将圆钢放置于平台上，使凸起处向上，用适当的中间锤置于圆钢的凸起处，然后敲击中间锤的顶部进行矫正。焊接件的矫正形焊接件角度的矫正矫正方法图所示为由两根角钢垂直地焊在起构成的形焊接件，冷却后焊接角度会发生变化。矩形框架的矫正矫正方法如图所示为矩形焊接件。框架与边出现双边弯曲现象时，可将框架立于平台上，外弯边朝上，边两端垫上垫板，捶击凸起点如果四边都略有弯曲，可分别向外或向内捶击凸起处。当尺寸误差不太大时，把框架竖起来，捶击较长边的端头，使其总长缩短。如和小于，采用图所示的方法，捶击点使其扩展。钣金件机械矫正工艺手工矫正效率低，劳动强度大，仅适用于对小件的矫正。对于尺寸较大的工件，则采用专用机械进行矫正。汽车钣金材料的机械矫正是通过矫正机对钢板进行多次反复弯曲，使钢板长短不等的纤维趋向相等，从而达到矫正的目的。汽车钣金板料变形的矫正般都是在上下辊平行的矫正机上进行。汽车钣金件的机械整平操作要求正确使用辊子式整平机按照要求将变形钣金件整平操作时，不得将手放在辊子周边。操作步骤金属板料的机械整平整平方法如图所示，轴辊的间隙根据板厚进行调节。矫正的质量取决于辊子的精度。滚压已预先成型的工件图金属板料的机械整平滚压方法如图所示，首先将工件下面的辊子换成较工件之上的辊子曲率略小的辊子，然后利用急松装置将底辊升起，同时将工件置于辊子之间，调整底轮的压力，使工件能在适度的压力之下在辊子间滑动。图液压已预先成型的工件注意要全面滚压，以免局部延展伸长。要随时利用样板核对工件的曲率。将钣金件在个方向依次滚压完后，再将工件调转，重复以上操作，滚压线路与原来方向交叉进行，如图所示。图将钣金件旋转后滚压滚压平钣金件的波形皱纹滚压方法如图所示，滚压时金属板移动的方向与原来移动的方向成对角线，压力保持均匀，并平稳地移动，以免再度造成波纹。图液压平钣金件的波形皱纹大型钣金件的成型方法成型方法如图所示，根据工件的要求在滚压大型钣金件时需要两个人把持工件，在滚压机上按以上描述依次前后移动。图大型钣金件的成型方法拉伸校正的方法拉伸过程中要注意方法和程序。拉伸时，每次拉伸小点，然后松开链条，卸力测量。操作时，注意从内到外完成的顺序。首先是长度。沿着汽车中心线，对汽车的纵向方向进行拉伸。然后是宽度校正。对汽车的横向方向进行校正。最后是高度校正。由于高强度的整体式车身在加热时很敏感，通常不要试图步就完成校正拉伸。般应该遵循拉伸保持平衡再拉伸再保持平衡的流程，循环往复。如果些车身被碰撞以后折叠得太紧，金属有被损裂的危险，就需要微原来相应于第个能级的各个简并本征函数的线性组合，其组合系数由久期方程决定。般地，如果久期方程无重根，将求得的代入原则上可以求出组不同的解，那么可以求出个零级近似的波函数。简并定态微扰论的讨论简并来自对守恒量的不完全测量。每个守恒量对应于种对称性。若由这个次的久期方程解出的无重根，那么，无微扰能级经微扰后分裂为条，它们的波函数由各自对应的表示。这时，简并将完全消除，原来带来简并的对称性或守恒量将发生或缺。同理，若有重根，只要不是重根，都将部分地消除简并，引起部分对称或缺。经过重新组合后的零级波函数彼此互相正交，满足。在属于的维子空间中，若经过非简并微扰方法重新组合后的为基矢，则有由上式可知，在经过非简并微扰方法处理后的简并态构成的子空间中，对应对角矩阵。因此，简并微扰方法的主要精神在于重新组合简并态的零级波函数，使得在简并态子空间中对角化。在经过这样的处理后，能量的级修正，与非简并微扰的公式完全相同。简并微扰的核心问题在于对简并子空间的基底的选择，在于重新选择零级波函数以使得在简并子空间对角化，则对角线上的元素就是能量的本征值。若最初的零级的简并波函数本身就能使得对角化，即则，由将得出。无须再去重新组合零级波函数。简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。结束语在量子力学中，由于体系的哈密顿函数比较复杂，往往不能求得准确的,，而只能求得近似解。因此用来求问题的近似解的方法，就显得很重要。那么，在上文，我们分别讨论了非简并定态微扰论和简并定态微扰论，并简单论述了它的理论推导。由此，我们可以得知，近似方法的精神就是从简单问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。近似方法除了上文介绍的非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论外，还有含时微扰理论和变分法等等。参考文献苏如铿量子力学高等教育出版社周世勋量子力学教程高等教育出版社曾谨言量子力学卷第版科学出版社钱伯初量子力学高等教育出版社,刘觉平普通高等教育十五国家级规划教材量子力学高等教育出版社张永德量子力学科学出版社普通高等教育十五国家级规划教材曾谨言量子力学导论北京大学出版社出版钱伯初，曾谨言量子力学习题精选与剖析科学出版社出版，年第二版。,,的第个能级的修正，就要求无简并，它相应的波函数只有个。其他能级既可以是简并的，也可以不是简并的。的能级组成分立谱，或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计算它的修正的那个能级处于分立谱内，是束缚态。在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的的本征值和本征函数近似求出的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是将能级和波函数按展开，，分别表示能级和波函数的级，二级修正。将上两式代入薛定谔方程中得然后比较上式两端的的同次幂，可得出各级近似下的方