1、“.....引起部分对称或缺。经过重新组合后的零级波函数彼此互相正交，满足。在属于的维子空间中，若经过非简并微扰方法重新组合后的为基矢，则有由上式可知，在经过非简并微扰方法处理后的简并态构成的子空间中，对应对角矩阵。因此，简并微扰方法的主要精神在于重新组合简并态的零级波函数，使得在简并态子空间中对角化。在经过这样的处理后，能量的级修正，与非简并微扰的公式完全相同。简并微扰的核心问题在于对简并子空间的基底的选择，在于重新选择零级波函数以使得在简并子空间对角化，则对角线上的元素就是能量的本征值。若最初的零级的简并波函数本身就能使得对角化，即则，由将得出。无须再去重新组合零级波函数。简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。结束语在量子力学中，由于体系的哈密顿函数比较复杂，往往不能求得准确的,，而只能求得近似解。因此用来求问题的近似解的方法，就显得很重要。那么，在上文，我们分别讨论了非简并定态微扰论和简并定态微扰论，并简单论述了它的理论推导。由此，我们可以得知，近似方法的精神就是从简单问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解......”。

2、“.....还有含时微扰理论和变分法等等。参考文献苏如铿量子力学高等教育出版社周世勋量子力学教程高等教育出版社曾谨言量子力学卷第版科学出版社钱伯初量子力学高等教育出版社,刘觉平普通高等教育十五国家级规划教材量子力学高等教育出版社张永德量子力学科学出版社普通高等教育十五国家级规划教材曾谨言量子力学导论北京大学出版社出版钱伯初，曾谨言量子力学习题精选与剖析科学出版社出版，年第二版。,,的第个能级的修正，就要求无简并，它相应的波函数只有个。其他能级既可以是简并的，也可以不是简并的。的能级组成分立谱，或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计算它的修正的那个能级处于分立谱内，是束缚态。能级中，不同简并态，之间的矩阵元,为,。因此，上式可改写为上式是个以系数为未知数的线性齐次方程组，它有非零解的条件是其系数行列式为零，即这是个次的久期方程。由这个久期方程可以解出的个根得将代入上式得必为纯虚数，即为实数。准确到的级近似，微扰后体系的波函数是上式表明，的贡献无非是使波函数增加了个无关紧要的常数相位因子，那么，不失普遍性，可取因此，准确到级近似......”。

3、“.....准确到级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的级修正，非对角元给出波函数的级修正。二级修正求二级修正需要求解与求级修正的步骤相似，将二级修正波函数按展开将此式代入上式得以左乘上式，并对全空间进行积分后得当时，得，考虑到，由上式得当时，由上式得至于，同样可以由波函数的归条件算出，由得或同样，若取为实数，那么由上式得综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。非简并定态微扰的讨论由微扰后的能级可知，微在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的的本征值和本征函数近似求出的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是将能级和波函数按展开，，分别表示能级和波函数的级，二级修正。将上两式代入薛定谔方程中得然后比较上式两端的的同次幂......”。

4、“.....同样还可以列出准确到，等各级的近似方程式。级微扰求级微扰修正只需要求解。由于厄米，的本征函数系系展开将此式代入的近似薛定谔方程中的为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归性后，得当时，得当时，得那么接下来计算，利用的归条件，在准确到数量级后，又因波函数归由相应的级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是种逐步逼近法。关于的讨论由得出，若设我们将看成个可变化的参数，则显然当时，，这时体系未受到微扰的影响当时，，微扰全部加进去了。因此可以想象体系当从缓慢变化到的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。海曼费曼定理设是的函数，因此他的本征方程和归条件为由上式得上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。简并定态微扰论理论简述除维束缚态外，般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数......”。

5、“.....现在由于不知道在这个本征函数中应该取哪个作为无微扰本征函数。因此，简并微扰要解决的第个问题就是如何适当选择零级波函数进行微扰计算。设的本征方程是归化条件是的本征方程是由于是完备系，将按展开后，得将此式代入上式得以左乘上式两端，对全空间进行积分后有其中按微扰的精神，将的本征值和在表象中的本征函数按的幂级数作微扰展开后得再将这两式代入比较上式给出的两端的同次幂，给出如果讨论的能级是第个能级，即，由的次幂方程式得即是个待定的常数。再由级近似下的薛定谔方程得在上式中，当，得能级的级修正为为方便书写起见，略去指标，记同原来相应于第个能级的各个简并本征函数的线性组合，其组合系数由久期方程决定。般地，如果久期方程无重根，将求得的代入原则上可以求出组不同的解，那么可以求出个零级近似的波函数。简并定态微扰论的讨论简并来自对守恒量的不完全测量。每个守恒量对应于种对称性。若由这个次的久期方程解出的无重根，那么，无微扰能级经微扰后分裂为条，它们的波函数由各自对应的表示。这时，简并将完全消除，原来带来简并的对称性或守恒量将发生或缺。同理，若有重根，只要不是重根......”。

6、“.....埋置式桥台刚性扩大基础设计基础结构布置的选择本工程的桥上部构造采用装配式钢筋混凝土形梁，标准跨径，计算跨径摆动支座，桥面宽度为，双车道。初步拟定的方案为浅基础和桩基础。对于桩基础，完全可以满足强度稳定性等要求，但其造价将会很高，不是很经济其结构形式和施工方法较简便易行，易于保证施工质量，经济效益也较好。综合考虑基础所在地的工程地质状况水文条件等因素，经过技术经济和施工条件上的比较，最后选定方案为浅基础，即埋置式桥台刚性扩大基础。二基础结构布置的选择基础分两层，每层厚度，襟边和台阶等宽，去。根据襟边和台阶构造要求，初拟出平面较小尺寸，如图所示，经验算不满足要求时再调整尺寸。基础用混凝土浇筑，混凝土的刚性角。基础的扩散角为满足要求。三荷载计算及组合上部构造恒载反力及桥台台身基础自重与基础上土重计算其值列于表土压力计算土压力按台背竖直填土内摩擦角，台背圬工与填土间摩擦角计算，后台填土水平，......”。

7、“.....中心轴之左为。作用在桥上Ⅰ汽车及人群荷载反力根据公路桥涵设计通用规范，对于集中荷载标准值按以下规定选取桥梁计算跨径小于或等于时桥梁计算跨径等于或大于时计算跨径在之间时，值采用直线内插求得。其荷载布置图如所示。计算剪力效应时应乘以的系数，公路Ⅱ级车道荷载的均布荷载标准值为，支座反力标准值为人群荷载支座反力支座反力作用点距离基底形心轴的距离对基底形心轴的力矩图Ⅱ汽车荷载制动力重力式墩台不计冲击系数。制动力按车道荷载标准值在加载长度上计算总重力的计算，其公路Ⅱ级汽车荷载的制动力标准值不小于。故取制动力。台后桥上有均布荷载，车辆荷载在台后其荷载布置如图所示。人群荷载支座反力对基底形心轴的力矩支座摩阻力计算取摆动支座系数，则支座摩阻力对基底形心轴的弯矩图方向按荷载组合需要确定对实体式埋置桥台不计汽车荷载的冲击力，同时从以上制动力和支座摩阻力的计算结构表明，支座摩阻力于制动力。因此，在后面的附加组合中，以制动力作为控制设计。荷载组合根据实际可能出现的荷载情况，可按以下情况进行组合台后无荷载，车道荷载在桥上台后桥上均有荷载，车辆在台后，车道荷载在桥上桥上无荷载，台后为车辆荷载......”。

8、“.....其荷载组合见表。荷载组合计算表表序号荷载作用情况计算项目公路Ⅱ级台后无荷载，车道荷载在桥上台后桥上均有荷载，车辆在台后，车道荷载在桥上桥上无荷载，台后为车辆荷载上部荷载力力臂弯矩台身荷载力力臂弯矩汽车力力臂弯矩人群力力臂弯矩台后土压力力水平竖直水平竖直水平竖直力臂上部构造恒载已知，为桥台宽度取，为自基底至填土表面的距离，等于为主动土压力系数。其水平向分力离基础底面的距离对基底形心轴的力矩其竖直向分力作用点离形心轴的距离对基底形心轴的力矩台后填土表面有汽车荷载时由汽车荷载换分地消除简并，引起部分对称或缺。经过重新组合后的零级波函数彼此互相正交，满足。在属于的维子空间中，若经过非简并微扰方法重新组合后的为基矢，则有由上式可知，在经过非简并微扰方法处理后的简并态构成的子空间中，对应对角矩阵。因此，简并微扰方法的主要精神在于重新组合简并态的零级波函数，使得在简并态子空间中对角化。在经过这样的处理后，能量的级修正，与非简并微扰的公式完全相同。简并微扰的核心问题在于对简并子空间的基底的选择，在于重新选择零级波函数以使得在简并子空间对角化......”。

9、“.....若最初的零级的简并波函数本身就能使得对角化，即则，由将得出。无须再去重新组合零级波函数。简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。结束语在量子力学中，由于体系的哈密顿函数比较复杂，往往不能求得准确的,，而只能求得近似解。因此用来求问题的近似解的方法，就显得很重要。那么，在上文，我们分别讨论了非简并定态微扰论和简并定态微扰论，并简单论述了它的理论推导。由此，我们可以得知，近似方法的精神就是从简单问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。近似方法除了上文介绍的非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论外，还有含时微扰理论和变分法等等。参考文献苏如铿量子力学高等教育出版社周世勋量子力学教程高等教育出版社曾谨言量子力学卷第版科学出版社钱伯初量子力学高等教育出版社,刘觉平普通高等教育十五国家级规划教材量子力学高等教育出版社张永德量子力学科学出版社普通高等教育十五国家级规划教材曾谨言量子力学导论北京大学出版社出版钱伯初，曾谨言量子力学习题精选与剖析科学出版社出版，年第二版。,,的第个能级的修正，就要求无简并，它相应的波函数只有个。其他能级既可以是简并的，也可以不是简并的......”。