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级微扰求级微扰修正只需要求解。

由于厄米，的本征函数系系展开将此式代入的近似薛定谔方程中的为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归性后，得当时，得当时，得那么接下来计算，利用的归条件，在准确到数量级后，又因波函数归由相应的级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是种逐步逼近法。

关于的讨论由得出，若设我们将看成个可变化的参数，则显然当时，，这时体系未受到微扰的影响当时，，微扰全部加进去了。

因此可以想象体系当从缓慢变化到的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。

海曼费曼定理设是的函数，因此他的本征方程和归条件为由上式得上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。

简并定态微扰论理论简述除维束缚态外，般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。

假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数。

与简并微扰不同，现在由于不知道在这个本征函数中应该取哪个作为无微扰本征函数。

因此，简并微扰要解决的第个问题就是如何适当选择零级波函数进行微扰计算。

设的本征方程是归化条件是的本征方程是由于是完备系，将按展开后，得将此式代入上式得以左乘上式两端，对全空间进行积分后有其中按微扰的精神，将的本征值和在表象中的本征函数按的幂级数作微扰展开后得再将这两式代入比较上式给出的两端的同次幂，给出如果讨论的能级是第个能级，即，由的次幂方程式得即是个待定的常数。

再由级近似下的薛定谔方程得在上式中，当，得能级的级修正为为方便书写起见，略去指标，记同能级中，不同简并态，之间的矩阵元，为，。

因此，上式可改写为上式是个以系数为未知数的线性齐次方程组，它有非零解的条件是其系数行列式为零，即这是个次的久期方程。

由这个久期方程可以解出的个根得将代入上式得必为纯虚数，即为实数。

准确到的级近似，微扰后体系的波函数是上式表明，的贡献无非是使波函数增加了个无关紧要的常数相位因子，那么，不失普遍性，可取因此，准确到级近似，体系的能级和波函数是上式表明，准确到级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的级修正，非对角元给出波函数的级修正。

二级修正求二级修正需要求解与求级修正的步骤相似，将二级修正波函数按展开将此式代入上式得以左乘上式，并对全空间进行积分后得当时，得，考虑到，由上式得当时，由上式得至于，同样可以由波函数的归条件算出，由得或同样，若取为实数，那么由上式得综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。

非简并定态微扰的讨论由微扰后的能级可知，微原来相应于第个能级的各个简并本征函数的线性组合，其组合系数由久期方程决定。

般地，如果久期方程无重根，将求得的代入原则上可以求出组不同的解，那么可以求出个零级近似的波函数。

简并定态微扰论的讨论简并来自对守恒量的不完全测量。

每个守恒量对应于种对称性。

若由这个次的久期方程解出的无重根，那么，无微扰能级经微扰后分裂为条，它们的波函数由各自对应的表示。

这时，简并将完全消除，原来带来简并的对称性或守恒量将发生或缺。

同理，若有重根，只要不是重根，都将部分地消除简并，引起部分对称或缺。

经过重新组合后的零级波函数彼此互相正交，满足。

在属于的维子空间中，若经过非简并微扰方法重新组合后的为基矢，则有由上式可知，在经过非简并微扰方法处理后的简并态构成的子空间中，对应对角矩阵。

因此，简并微扰方法的主要精神在于重新组合简并态的零级波函数，使得在简并态子空间中对角化。

在经过这样的处理后，能量的级修正，与非简并微扰的公式完全相同。

简并微扰的核心问题在于对简并子空间的基底的选择，在于重新选择零级波函数以使得在简并子空间对角化，则对角线上的元素就是能量的本征值。

若最初的零级的简并波函数本身就能使得对角化，即则，由将得出。

无须再去重新组合零级波函数。

简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。

结束语在量子力学中，由于体系的哈密顿函数比较复杂，往往不能求得准确的而只能求得近似解。

因此用来求问题的近似解的方法，就显得很重要。

那么，在上文，我们分别讨论了非简并定态微扰论和简并定态微扰论，并简单论述了它的理论推导。

由此，我们可以得知，近似方法的精神就是从简单问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。

近似方法除了上文介绍的非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论外，还有含时微扰理论和变分法等等。

参考文献苏如铿量子力学高等教育出版社周世勋量子力学教程高等教育出版社曾谨言量子力学卷第版科学出版社钱伯初量子力学高等教育出版社，刘觉平普通高等教育十五国家级规划教材量子力学高等教育出版社张永德量子力学科学出版社普通高等教育十五国家级规划教材曾谨言量子力学导论北京大学出版社出版钱伯初，曾谨言量子力学习题精选与剖析科学出版社出版，年第二版。

的第个能级的修正，就要求无简并，它相应的波函数只有个。

其他能级既可以是简并的，也可以不是简并的。

的能级组成分立谱，或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计算它的修正的那个能级处于分立谱内，是束缚态。

在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的的本征值和本征函数近似求出的本征值和本征函数。

为表征微扰的近似程度，通常可引进个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。

体系经微扰后的薛定谔方程是将能级和波函数按展开，，分别表示能级和波函数的级，二级修正。

将上两式代入薛定谔方程中得然后比较上式两端的的同次幂，可得出各级近似下的扰实动部分的影响，取公差值和附加值之和，级取，级取。

制品的表面质量塑料制件的精度等级较低，我们所要获得的制件对制品的表面质量除要求无缺陷，毛刺，内部不得有导电杂质外无特殊要求，般的模具制造工艺和注塑工艺就能满足要求。

制品的形状结构制品的壁厚均匀为。

符合的最小壁厚原则，在制件的转角处设计圆角，防止在此处出现缺陷，由于制件的尺寸较小，的强度较大不需增设加强筋。

计算塑料制件的体积和质量计算塑件的体积和质量是为了选用注塑机及确定模具型腔数量。

计算塑料制件的体积其中圆角处尺寸可不预考虑在选取注塑机时适当放大查模具设计与制造简明手册知聚苯乙烯般密度为，耐热型塑料密度为由下式换算聚苯乙烯体积由密度可得出单个制件的质量克塑料注射成型的工艺参数。

注塑工艺卡注射温度包括料筒温度和喷嘴温度料筒温度后段温度选用中段温度选用前段温度选用注塑压力选用注塑时间选用保压压力选用保压时间选用冷却时间选用塑料成型设备的选取根据计算及原材料的注射成型参数初选注塑机为查材料知螺杆直径注射容量克克注射压力锁模力最大注射面积㎝㎝模具厚度模板行程喷嘴球半径孔半径定位孔直径推出两侧孔径第章注塑模具结构的设计模腔数量的确定塑件的生产属大批量生产，宜采用多型腔注塑模具，其型腔个数与注塑机的塑化能力，最大注射量以及合模力等参数有关，此外还受制件精度和生产的经济性等因素影响，但是由于瓶盖的特殊结构，需要用内抽心结构因此此模具型腔数目采取个般而言，由上述参数和因素可按下列方法确定模腔数量。

按注射机的额定锁模力确定型腔数量其中注塑机的锁模力型腔内的平均压力每个制件在分型面上的面积流道和浇道在分型面上的投影面积在模具设计前为未知量，根据多型腔模具的流动分析为，常取，熔体内的平均压力取决于注射压力，般为实际所需锁模力应小于选定注塑机的名义锁模力，为保险起见常用则个注射机注塑量确定型腔数目其中注射机的公称注塑量单个制件塑件，平行度同心度同轴度都要求很高，保证塑件精度除提高模具制造精度外，与分型面的选择有很大关系。

有利于排气对中小型塑件因型腔较小，空气量不多，可借助分型面的缝隙排气。

因此，选择分型面时应有利于排气。

按此原则，分型面应设在注射时熔融塑料最后到达的位置，而且不把型腔封闭。

塑件留在动模内模注模具符合注塑机的要求模具开模时校核注模具符合注塑机的要求第章注塑机有关参数的校核本模具的外形尺寸为，型注塑机模板最大安装尺寸是。

由于上述计算的模具闭合高度为，型注塑机的最小模具厚度为，最大模具厚度为模具合模时校核模具开模时校核其中为模具的抽拔距经校核型注塑机能满足使用要求故可以采用。

第章模具的装配装配主要要求如下模具上下平面的平行度偏差不大于分模处要求密合。

推件时推杆与卸料板要保持同步。

上下模型芯必须紧密接触。

装配时以分型面密合作为该模具的装配基准，装配顺序如下装配前按图检验主要工作零部件及其它零件尺寸。

镗导柱导套孔。

将定模板动模板型芯固定板叠合在起，使分模面紧密接触并加紧，镗导柱导套孔，在孔内压入工艺定位销后，加工侧面的方程式零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到，等各级的近似方程式。

级微扰求级微扰修正只需要求解。

由于厄米，的本征函数系系展开将此式代入的近似薛定谔方程中的为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归性后，得当时，得当时，得那么接下来计算，利用的归条件，在准确到数量级后，又因波函数归由相应的级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是种逐步逼近法。

关于的讨论由得出，若设我们将看成个可变化的参数，则显然当时，，这时体系未受到微扰的影响当时，，微扰全部加进去了。

因此可以想象体系当从缓慢变化到的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。

海曼费曼定理设是的函数，因此他的本征方程和归条件为由上式得上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。

简并定态微扰论理论简述除维束缚态外，般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。

假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数。

与简并微扰不同，现在由于不知道在这个本征函数中应该取哪个作为无微扰本征函数。

因此，简并微扰要解决的第个问题就是如何适当选择零级波函数进行微扰计算。

设的本征方程是归化条件是的本征方程是由于是完备系，将按展开后，得将此式代入上式得以左乘上式两端，对全空间进行积分后有其中按微扰的精神，将的本征值和在表象中的本征函数按的幂级数作微扰展开后得再将这两式代入比较上式给出的两端的同次幂，给出如果讨论的能级是第个能级，即，由的次幂方程式得即是个待定的常数。

再由级近似下的薛定谔方程得在上式中，当，得能级的级修正为为方便书写起见，略去指标，记同能级中，不同简并态，之间的矩阵元，为，。

因此，上式可改写为上式是个以系数为未知数的线性齐次方程组，它有非零解的条件是其系数行列式为零，即这是个次的久期方程。

由这个久期方程可以解出的个根得将代入上式得必为纯虚数，即为实数。

准确到的级近似，微扰后体系的波函数是上式表明，的贡献无非是使波函数增加了个无关紧要的常数相位因子，那么，不失普遍性，可取因此，准确到级近似，体系的能级和波函数是上式表明，准确到级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的级修正，非对角元给出波函数的级修正。

二级修正求二级修正需要求解与求级修正的步骤相似，将二级修正波函数按展开将此式代入上式得以左乘上式，并对全空间进行积分后得当时，得，考虑到，由上式得当时，由上式得至于，同样可以由波函数的归条件算出，由得或同样，若取为实数，那么由上式得综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。

非简并定态微扰的讨论由微扰后的能级可知，