有根和重根综上所述，所求方程为或或例求有单根与以及二重根的四次多项式解由根与系数的关系知，，，因此所求多项式是或已知方程的部分根，求解方程例已知方程有个根是，解此方程解因为实系数方程的虚根成对出现，故也是上述方程的根，由代数基本定理可知此方程有个根,设此方程其余两根为，由根与系数的关系得解得,即是所给方程的二重根，所以原方程的根为,,此题还可用综合除法求得是所给方程的二重根，然后再利用实系数多项式的非实复根两两成对理论求出方程的另根已知方程定理拉格朗日插值恒等式对于给定数域里的个互不相同的数,以及个不全为的数，总有个次数不超过的多项式使得,且这个多项式可以唯表示为例求个次多项式，使它在处与函数有相同的值解由题意得，，，由定理得例已知函数，满足，，那么应满足解由拉格朗日插值多项式有从而又，证明类数是无理数在初等代数中，我们是利用有理数与无理数的区别来证明无理数的见证法二这里我们可以考虑用多项式理论中的方法来解决我们可以先构造等式，然后利用艾森斯坦判断法或待定系数法证明其在有理数域上的不可约性，说明多项式没有有理根，但它又是多项式的根，从而得出这个数是无理数定理若，是个不相同的素数，而是个大于的整数，那么是个无理数证明设令则，，取素数，Œ但Œ由艾森斯坦判断法知在有理数域上不可约，故无有理根，但是的根，从而只能是无理数例证明是无理数证法设令，则，，令，则ŒŒ故在有理数域上不可约，即无有理根，但是的根，从而只能是无理数证法设不是无理数，而是有理数既然是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式，再假设和没有公因数可以约，所以可以认为为最简分数,即最简分数形式，求方程组的解形如方程组其中，都是元高次方程，求方程的解对于这类题，我们可以考虑从方程组的公共根出发，利用辗转相除法求和的最大公因式，再令其等于零例解方程组解令，，对，施行辗转相除法，求得,，令，得即原方程组的解是多项式的恒等定理多项式恒等定理数域上的两个多项式恒等的充要条件是它们的次数相同，且同次项系数对应相等即，且例对于任意的实数不等式恒成立，求满足条件的,解要使上述不等式成立，只要是个实数式的平方加上个正数,于是令则无理数证明设令，为了能够利用艾森斯坦判断法，需把变形，为此令，故取，Œ，，由艾森斯坦判断法知，在有理数域上不可约即无有理根，但是的根，所以只能是无理数例证明是无理数证明设两边平方得即令，取，Œ，︱由艾森斯坦判断法知,在有理数域上不可约即无有理根，但是的根,所以只能是无理数结术语本论文主要是运用多项式理论知识对初等数学中的若干问题的进步探讨,通过对多项式的理论和方法的介绍以及这些理论和方法在例题中的应用,我们看到在初等数学中我们认为棘手或无法解决的问题,用高等代数中的方法,得到了很好地解决从而看出多项式理论在初等数学中的应用是十分广泛的对于教师来说，掌握相当程度的高等数学知识并在教学中适当地加以渗透并运用,对提高数学教学质量是非常有益的,而且只有用高等数学的知识观点和方法以种居高临下的态势,审视初等数学教学内容,才能使初等数学的教学达到理想的境界对于特别是学有余力的学生来说,体会并掌握解题的不同方法,不仅可以提高学生快速解题的能力,还有助于学生思维的发展,从而提高学生学习数学的兴趣,激发学生学习的热情参考文献张禾瑞,郝鈵新高等代数北京高等教育出版社,李长明,周焕山初等数学研究北京高等教育出版社,张宗标,徐伟类元多项式的标准分解式的解法考试周刊杨琴关于元多项式的因式分解青海民族大学学报教育科学版宁波,高等代数同步辅导及习题全解徐州中国矿业大学出版社,潘铁浅谈应用多项式的拉格朗日插值公式解题中等数学张同君,陈传理竞赛数学解题研究北京高等教育出版社,唐剑浅谈高师高等代数课程对中学数学教学的指导作用中国西部科技,,,谢辞在本论文的写作过程中，我的导师老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到遍又遍地指出论文中的诸多问题，严格把关，循循善诱，在此向我的导师表示深深的谢意和敬意同时我还要感谢数学系的其它老师以及我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我很多素材，还在论文的撰写和排版过程中提供热情的帮助由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正全文约字程定理设中次多项式在复数域中有个根,则根与系数的关系是定理代数基本定理任何次多项式在复数域上至少有个根定理若实数多项式有个非实的复数根，那么的共轭根也是的根，并且与有同重数换句话说，实系数多项式的非实的复数根两两成对已知方程的所有的根，求方程例求所有以有理数为根的方程解利用根与系数的关系知满足若或，由知，代入得或若,，但，由得，代入得，显然,是方程的根若均不为，由得代入得这个方程有且仅有个有理根，从而，显然开挖出渣道路其他道路合计施工工厂设施砂石加工系统砂石料需要量本工程主体工程混凝土数量万含施工导流，计入大坝垫层填筑料及临建工程用料，共需砂石净料万，其中砂子万，碎石万，全部采用人工轧制。生产规模及工艺流程生产规模经施工进度安排，砂石需用料高峰时段为第年月至第年月，期间混凝土月平均浇筑强度万，垫层料月平均填筑强度万。据此，确定系统生产能力为，系统处理能力为。工艺流程砂石系统采用闭路生产碎石开路制砂工艺流程。系统内按工艺流程依次设置有粗碎车间筛分车间中细碎车间制砂车间和成品堆场。粗碎车间设置振动给料机和颚式破碎机各台，粗碎控制进料最大粒径为，加工破碎料由胶带机送至筛分车间，筛分车间设置圆振动筛各台，沉砂箱座，螺旋分级机台，各级筛分料通过胶带机送至成品堆场堆存，和部分级配剩余料送至细碎车间进行二次破碎，细碎车间设反击式破碎机台，破碎产品通过胶带机送回筛分车间，由此构成闭路生产。制砂车间采用棒磨机开路制砂，制砂车间设棒磨机螺旋分级机各台，成品砂通过胶带机送至成品堆场堆存。成品堆场设料堆各个，砂堆个堆料脱取料，堆场总容量，可满足混凝土施工高峰时段日用量。砂石加工系统工艺流程见图。系统布置按照就近料源，减少土建工程量原则，砂石加工系统就近布置在图砂石加工系统工艺流程图鱼儿泉灰岩料场附近，距坝址，位于进场道路内侧。根据地形条件和工艺流程要求，系统布置采用自上而下台阶式布置。分布高程。系统技术指标砂石加工系统主要技术指标见表表砂石加工系统主要技术指标表序号项目单位指标备注系统处理能力系统生产能力粗碎车间处理能力筛分车间处理能力中细碎车间处理能力制砂车间处理能力工作班制班制砂班定员人耗量设备功率建筑面积占地面积混凝土拌和系统拌和系统生产能力混凝土拌和系统布置在坝址下游施工场地内。本工程混凝土总量万，混凝土浇筑历时年，高峰月平均浇筑强度万。由于溢洪道闸室段及挑流鼻坎段浇筑仓面较大，考虑采用台阶法浇筑，要求拌和能力不小于，混凝土拌和设备选用拌和站座，生产能力为。工艺流程拌和系统工艺流程如图，大体积混凝土均在低温季节浇筑，夏季施工般可安排在夜间进行，拌和站不设制冷系统。水泥罐水泥厂拌和系统工艺流程图螺旋机拆包间图斗提机水泥厂袋装水泥库载重汽车人工抬运螺旋机浇筑仓面斗提机拌和站拌和系统净料堆水泥罐车图拌和系统工艺流程图混凝土骨料采用自卸汽车从砂石加工系统净料堆运到拌和系统骨料仓，经廊道皮带机送到拌和站。由于拌和系统距砂石系统较近，仅，为减少土建工程量，拌和系统堆存混凝土高峰月浇筑强度所需骨料，储存量。袋装泥用载重汽车由厂家运到工地入库，经拆包后，用螺旋输送机和斗提机送入泥罐，再经螺旋输送机和斗提机送到拌和站。泥仓库按储存混凝土高峰月浇筑强度泥用量予以确定，配备泥罐个，共，袋装泥仓库，储存袋装泥。外加剂车间设溶化池个，原料库间，外加剂经冲溶化后用泵送到拌和楼称量配料。系统技术指标混凝土拌和系统主要技术指标见表。表混凝土拌和系统主要技术指标表序号项目单位指标备注生产能力泥贮量高峰有根和重根综上所述，所求方程为或或例求有单根与以及二重根的四次多项式解由根与系数的关系知，，，因此所求多项式是或已知方程的部分根，求解方程例已知方程有个根是，解此方程解因为实系数方程的虚根成对出现，故也是上述方程的根，由代数基本定理可知此方程有个根,设此方程其余两根为，由根与系数的关系得解得,即是所给方程的二重根，所以原方程的根为,,此题还可用综合除法求得是所给方程的二重根，然后再利用实系数多项式的非实复根两两成对理论求出方程的另根已知方程定理拉格朗日插值恒等式对于给定数域里的个互不相同的数,以及个不全为的数，总有个次数不超过的多项式使得,且这个多项式可以唯表示为例求个次多项式，使它在处与函数有相同的值解由题意得，，，由定理得例已知函数，满足，，那么应满足解由拉格朗日插值多项式有从而又，证明类数是无理数在初等代数中，我们是利用有理数与无理数的区别来证明无理数的见证法二这里我们可以考虑用多项式理论中的方法来解决我们可以先构造等式，然后利用艾森斯坦判断法或待定系数法证明其在有理数域上的不可约性，说明多项式没有有理根，但它又是多项式的根，从而得出这个数是无理数定理若，是个不相同的素数，而是个大于的整数，那么是个无理数证明设令则，，取素数，Œ但Œ由艾森斯坦判断法知在有理数域上不可约，故无有理根，但是的根，从而只能是无理数例证明是无理数证法设令，则，，令，则ŒŒ故在有理数域上不可约，即无有理根，但是的根，从而只能是无理数证法设不是无理数，而是有理数既然是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式，再假设和没有公因数可以约，所以可以认为为最简分数,即最简分数形式，求方程组的解形如方程组其中，都是元高次方程，求方程的解对于这类题，我们可以考虑从方程组的公共根出发，利用辗转相除法求和的最大公因式，再令其等于零例解方程组解令，，对，施行辗转相除法，求得,，令，得即原方程组的解是多项式的恒等定理多项式恒等定理数域上的两个多项式恒等的充要条件是它们的次数相同，且同次项系数对应相等即，且例对于任意的实数不等式恒成立，求满足条件的,解要使上述不等式成立，只要是个实数式的平方加上个正数,于是令则