1、“.....我们可以这样地定义函数当或，且为偶数时，令中条悬挂边的函数值.当或，且为奇数时，令条悬挂边的函数值.若，且为偶数时，令中条悬挂边的函数值.若且为奇数时，令条悬挂边的函数值对于的主体中的边总有.当或，且为偶数时，则，为奇数时，则.当，且为偶数时，则为奇数时，则，所以，故结论成立。我们得出了的个存在性定理引理个具有条边的图，且所有子图中不含有，那么有.此证明与引理的证明很相似。引理若在图中所有子图中不含有，且对些边成立，则对所有有.这个结论是很明显的。这个引理得出了两个推论......”。

2、“.....有.推论对于长度为的圈，有.华东交通大学毕业论文也就是说，在这两种情况下，只有个常数值为.定理图表示个边数的星图，若是奇数，则.若是偶数，则.证明令是图的，则.很明显至少存在条边使得.我们有，且，若是偶数，我们可以取条边使得组成的为，取条边使得组成的为若为奇数，据引理有，我们可以取条边使得组成的为，取条边使得组成的为.我们再次得出了个存在性定理。参考文献.，，，.摘自.，.对已有的结果进行重新论证，或者提出自己简单的猜想进行论证，最后得到结果。我们重新论证了常见图的些符号边控制数的结论⒈设......”。

3、“.....且，若为奇数则，若为偶边组成的集合。假设函数是图的边集到集合，的映射。如果对任意都有成立的话，则称为图的符号边控制函数。同时在关于图的所有符号边控制函数中，得到的最小值，称作为图的符号边控制数，记为。同理，若用开邻域替闭邻域，我们得到图的符号全控制数的定义，我们把它记为。在这篇论文中研究的对象是树。数表示的星图，路径，或者毛虫树的符号边控制数。此外还有表示个长度为的圈的控制数。树满足不等式条件是确定的。对于给定边数，和给定符号边控制数的树，已经证明了它的存在性定理。最后，得到了完全控制数的些类似结果。关键字树，符号边控制数，符号全控制数......”。

4、“.....图的边集记为且顶点集记为，图的两条边，称为邻边，如果他们是有个共同顶点的两条不同的边。对于边的开邻域表示的是与边相邻的所有边组成的集合。它的闭邻域则为。如果我们考虑映射，且当，我们记。个映射，称为关于图的符号边控制函数或全符号边控制函数，华东交通大学毕业论文如果或分别成立对任意条边都成立。同时在关于图的所有符号边控制函数或全符号边控制函数中，得到的最小值，分别称为图的符号边控制数或符号边全控制数，关于符号边控制数在文献.有介绍且记为。图的符号全控制数记为。符号边控制函数简记为......”。

5、“.....的值是随边控制数的变化而改变的个边变量。另外还有种有关图的控制数。是个边集合映射到图的个函数，当的每条边都在中时或者邻接于时，图的边集的子集称为中的边控制数若称是图的边控制函数，当的每条边都在中或者邻接于。在图边控制集合中最小的边集数目就称为图的边控制数，记为。接下来我们研究的和都是关于树的结论。引理假设图有条边那么证明假设是的个，且。令或表示或这类边的数目。我们有同时，，因此，故结论成立。引理若是树的个顶点，且是的个悬挂顶点的两个邻接顶点分别是定义为的则有证明我们知道，且故结论成立。引理若是个星图，它含有条边......”。

6、“.....，当为偶数时，.证明在星图中所有的边都连接在起，因此对任意条边都成立若是的，则有，故.设表示图中刘峰关于图的边控制数的边数，那么.如果为奇数时，我们可以取个函数使得满足，因此有.如果为偶数时，也是偶数我们可以选择个函数使得，因此.当，则的邻域子树，是由的顶点集，和的边集构成的图。若是的条悬挂边，那么是以边的个顶点为中心，且中心度数大于的星图。这就得到了包含边且直径为的最大生成子树，.相反地是以边为中心且直径为的最大生成子树。把所有的生成子树其中构成的集合记为定理在树中存在个的子集，满足所邻接的树的并是......”。

7、“.....证明令是中的边集，对任意条边，则集合是边的邻域集，且所有集合的并是.因此是的个边控制集.因此有.令，是的个所以.由于中的树是关联，我们有如下结论.我们已知对任意个树都成立，所以有如下推论。推论当满足定理的条件时，则有.猜想对任意个树，我们有成立。表示长度为的路径，也就是说含有条边以及个顶点的路径。则表示长度为的圈。定理对于路径，它的符号边控制数有如下结论华东交通大学毕业论文证明令是路径的则，取，.很明显对中任意条边必须至少邻接两条中的边......”。

8、“.....据引理可知，的端点和的边之间至少含有两条中的边，同理两条中的边之间至少含有两条中的边。因此且.如果我们选择中的个端点开始对其边标号，我们可以这样选定函数，当且仅当边的序号数能被整除，且小于时，令.这时有，且它就是.这个数值对对模值分开表示，则得到定理给出的形式。令方面我们来考虑圈的情况，证明方法十分类似于定理.定理对于圈，它的符号边控制数有如下结论下面我们来考虑毛虫树.把毛虫树的所有悬挂边删除后得到的是条路径也就是说，得到的这条路是毛虫树的主干。毛虫树的些个别情况包括星图和路径......”。

9、“.....和边，.令，为顶点上的悬挂边的数目。有限序列决定了毛虫树的唯性。根据定义所知很明显有且.若，则这个毛虫树就是个星图。若，，，则它是条路径。刘峰关于图的边控制数定理令为个整数有限序列，且，，，。令表示，中所含奇数的数目则就是由此序列控制的毛虫树，得知.证明由这个定理的假设可知的主体中每个顶点至少有条悬挂边令为，中所含的所有边构成的边集。令为的主体中个顶点，当为这个顶点的条悬挂边，则有，且，，故有贵经验，指出加强文化建设的重要意义，提出了推动社会主义文化 大发展大繁荣的指导思想......”。