。切莫以为归纳奠定这步就是当时命题正确这么句话，似乎无关紧要，可有可无。从上例可以看出，不去认真地检验这步，或者根本没有这步，就可能陷入的泥潭。因此，只有归纳递推没有归纳奠定基础的论证是的。归纳奠基步骤决不能少。弄不清从变化到命题发生变化时到底增加了几项错例求证为自然数。当时，左边为陕西科技大学毕业论文则当时左边应为就增加了括号中的那部分共项，而往往在此处由于受到前期思维定势的影响，判断为只增加项，那就错了。在第二步证明中没有利用归纳假设比如用数学归纳法证明，不少同学是按下列步骤展开的证明当时，左边，右边左边右边原不等式成立假设当为整数时不等式成立，即，那么当时时不等式也成立由知对于切整数，命题成立。上述的证明方法表象似乎是数学归纳法，其实不是，因为第二步由推导时，没有用到归纳假设来证明不等式成立，这就好像接力赛跑样没有由前个将接力棒传给。浅谈数学归纳法的应用应用数学归纳法时的些技巧灵活选取起点第步验证时，般情况下也总能把命题证明出来，但对有些问题，则必须根据题目具体条件，对第步做些调整，灵活选取起点，比如，适当的将起点前移或后挪，会对问题的解决大有帮助。所谓起点的前移是指对命题，若验证起点如比较困难或麻烦，而如有意义时，不妨将起点的验证移至所谓起点后挪是指对命题不能统到归纳过程中去，这时可将起点后挪至，当然，需要用完全归纳法予以验证。例若为正整数，则能被整除。证明当时，显然成立。假设时命题成立。则当时，由假设知，时命题成立。综合知原命题成立。上例假设是为正整数，而我们第步验证，这时命题显然成立，这比直接验证要容易的多。并且这样选择的起点并不影响后面的递推步，在这种情形下是允许这样做的。例试证对切自然数，都有。分析不妨先看看第二步，假设时，有，即则当时。,由于，欲使上式大于，必有，即。这说明要完成归纳递推，必须从开始。因而起点也必须从后挪至。此时第步就应该是当,时，经验证命题都成立。这里运用了起点后挪的技巧。陕西科技大学毕业论文恰当选取跨度在归纳中，有时采用较大的跨度更为方便，就可以改变跨度，不过应注意随之而起点增多。例试证任意大于的自然数均可表为若干个与若干个之和若干个包括零个。证明当时，命题成立，由知命题成立。假设时命题成立，则当时，只需再加个即可，显然成立。综合知原命题成立上例递推跨度为，起点验证也需要三个。例求证对切自然数，不定方程都有正整数解。证明当时，取当，取，故知命题在和时成立。假设当时就有，知它们恰为方程的组正整数解所以当时，命题也成立。则对切自然数不很耐心地帮助我，比个根据对我自身的特点给了我几个比较合适的课题还有在撰写论文的过程中，老师也是随时地提醒我要注意论文撰写的进度以及些相关要求。所以，这篇论文并不仅仅是我个人的劳动成果，假如没有导师的指导和支持，我的毕业论文肯定完成得不是那么顺利。所以，我要发自肺腑地感谢我的导师，感谢她这几个月来的辛勤知道和陪伴,还有我敬爱的老师们，在我大学四年的学习生活中，你们的谆谆教诲时时刻刻激励着我，我之所以能够很好地学到科学文化知识，全得益于你们的乐于奉献，所以在此，也要对你们说声谢谢,再者，还有我亲爱的同学们，我的生活因为有你们的陪伴而不再枯燥乏味，你们给我带来了太多美好的回忆，这些回忆值得我永远珍藏，所以也要谢谢你们,最后，我要感谢我的家人，有了你们的鼓励和支持，我才能够义无返顾的努力向前，我才能够顺利地完成学校，在此道声谢谢你们,还要感谢在百忙之中抽出时间参加我们毕业论文答辩的老师，你们辛苦了,浅谈数学归纳法的应用参考文献王子兴数学方法论长沙中南大学出版社，黄翔数学方法论选论重庆重庆大学出版社，黄忠裕中学数学思想方法专题选讲成都四川大学出版社唐子周关于数学归纳法的点探索中国科技信息张莉,贺贤孝数学归纳法的历史辽宁师范大学学报自然科学版黄崇智第及第二数学归纳原理的推广四川内江师范学院学报苏淳漫话数学归纳法合肥中国科学技术大学出版社定方程都有正整数解。对上述两个例题，如果硬性规定跨度为，则作茧自缚，而通过加大跳跃跨度，则大大降低了归纳难度。选取合适的假设方式同起点和跨度样，归纳法的假设也可以是因势而异的，不定非要拘泥于假设当时命题成立不可。事实上，往往可以用或，等等来代替。以假设时成立代替假设时成立例设数列满足关系式，，试证数列的通项公式为。加拿大数学竞赛试题分析显然满足通项公式，但因浅谈数学归纳法的应用，与，都有关，如果仍设，就显得不够用了。按如果改设对切，都有，问题即可解决，因为由即可知也满足通项公式。在上面的论证中，仅仅改变了假设的方式，而这种改变并未造成逻辑上的不合理，相反却有利归纳过渡，因而是十分可取的。以假设，时成立代替假设时成立有时也会碰到些问题，它们的归纳需要依赖于前面两个命题同时成立，这时就应当用假设，时成立来代替通常的假设时成立，不过这样来，起点也应增多为两个，否则，后面所作的假设就变得没有依据，整个论证也就变得不可信了。例设与是方程的两个根，试证对任何自然数，都是整数，但不是的倍数。证明为了便于使用归纳法，我们先来推导下递推关系式由韦达定理知因而就有故知，即有又当时，当时，，故知当与时，都是整数且不为的倍数，现假设，时，也都是整数，于是由递推关系式陕西科技大学毕业论文知当时，也是整数所以对切自然数，都是整数。为证都不是的倍数，以记其被除所得的余数，于是由已证部分知且由递推公式知。再证是个循环数列，循环节是。事实上，我们有于是有从而知是以作为循环节的循环数列于是可以算出它们都不为，这样我们就证明了对切自然数，都不是的倍数。在本例论证的前部分是整数中，就采用了与时，是整数的假设形式，以便于利用递推公式顺利进行完成归纳过渡。这种假设形式，在论证数列问题时较为常用但在使用时应注意对起点数作相应的增多。浅谈数学归纳法的应用数学归纳法的地位和作用数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时，是种非常重要的数学方法，在数学的学习中，它的地位和作用可以从以下三个方面来看中学数学中的许多重要结论，如等差数列等比数列的通项公式及其前项和公式二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明。对于由不完全归纳法得到的些与正整数有关的数学命题，我们也常采用数学归纳法来证明它们的正确性。运用数学归纳法可以证明许多数学问题，如与正整数有关的恒等式不等式些整除问题些几何问题等，既可以开阔眼界，又可以受到推理论证的训练。对于些用常规的分析综合法不容易证明的题，用数学归纳法往往会得到些意想不到的好结果。数学归纳法在进步学习高等数学时会经常用到，因此掌握这种方法可以为今后的高等数学的学习打下个良好的基础。陕西科技大学毕业论文致谢经过了数月的努力，我的毕业论文终于完成了，此时，我的心情常激动。虽然，本论文还有许多不足之处，但这也是我几个月来努力的成果，以及我的导师曹慧老师对我孜孜不倦的指导。记得在刚