号未知，故是不可观测的或无法计算的。与此相反，预测误差却是可观测的，它与恢复误差的关系为而噪声序列是独立的，因此不可观测的恢复误差的最小化等价于可观测的预测误差的最小化。具体的，考虑到,的最小化。式中，为遗忘因子，通常取。由,可得到等价关系式若令则式可简写为假定是非奇异的，则这就是滤波器滤波参数的公式，之所以记作，是因为随着时间而改变。式叫做最佳滤波器系数的方程。依据式来调整滤波器参数有两处不便。第，需要矩阵求逆及矩阵乘法等运算，因而计算量大。第二，与预测误差之间也未建立任何关系，不能达到根据预测误差来调整滤波器参数的要求。预测误差由表示。注意到和式，用式乘上式后得到为了简化第项的表达，并建立与之间的关系，种合理的想法是认为时刻及其以前时刻的滤波器参数相同，即这样，利用式及上述假定，就有另方面，为了简化的表达，种合理的想法就是认为遗忘因子。这相当于，只有本时刻的结果被记忆下来，而将以前的各时刻的结果全部遗忘。从而，有下列的简化结果将式和代入，则得式描述了个滤波器参数受其输入误差控制的自适应滤波算法，被称作递归最小二乘。为了实现递推计算，还要解决逆矩阵的递推计算问题。为此，我们先引入个著名的结果矩阵求逆引理。矩阵求逆引理若是非奇异的，则由的定义式，显然有对它应用矩阵求逆引理，得综上所分析，递归最小二乘法自适应滤波算法如下所示算法初始化递归最小二乘算法的性能分析递推最小二乘法算法的关键是用二乘方的时间平均的最小化锯带最小均方准则，并按时间进行迭代计算。对于非平稳信号的自适应处理，最合适的方法是采用最小二乘自适应滤波器。它使误差的总能量最小。算法的优点是收敛速度快，其收敛性能与输入信号的频谱特性无关，但其缺点是计算复杂度很高，对于阶的滤波器，算法的计算量为,为了对非平稳信号进行跟踪，算法引入了数加权遗忘因子。该遗忘因子的引入，使算法能够对非平稳信号进行跟踪。由于设计简单性能最佳，其中滤波器具有稳定的自适应行为而且算法简单，收敛性能良好。这里讨论算法收敛特性两个方面的问题是从均值的意义上讨论ˆ的收敛性二是从均方值的意义上讨论误差的收敛性。为了讨论进行这样的讨论，必须对输入过程的类别作出规定。考虑随即机回归模型其中是零均值过程是均值为零,方差为的高斯白噪声序列。其中ˆ的收敛性对公式，其中。而可以写出当，ˆ满足将其写成如下形式其中将式和式带入式中得ˆ故在最小二乘法算法引入了的意义。统计量的计算是从零时刻开始的，如果不引入遗忘因子，所有采样点数据对当前估计量估计的贡献是相等的，在时变条件下，这显然不合理，因为离当前时刻比较远的数据，其信道与当前信道时域相关度越低，而通过引入到之间的取值，可以令离当前时刻越远的采样数据对统计量估计的贡献越小，由此可以实现对时变信道的有效跟踪。另外，通过调节的大小，可以使算法适用于不同的信道时变速率环境。例如，信道时变速率较慢时可选用较大的，反之则选用较小的。算法与算法性能比较算法确实结构简单计算量小且稳定性好，因此被广泛地应用于自适应控制雷达系统辨识及信号处理等领域。它的主要限制是它的收敛速度慢，这归因于仅仅使用阶信息，影响它的收敛速度的主要因素步长因子，较小时，自适应速率减慢，它等效于滤波器有长的记忆。因此自适应后平均额外均方误差较小，这是因为滤波器使用大量的数据估计梯度向量。另方面，当较大时，自适应速率相对较快，但以自适应后平均额外均方误差的增加为代价。在这种情况下较少数据进入估计，故滤波器误差性能恶化。因此参数的倒数可以看作滤波器的记忆。这种固定步长的自适应算法在收敛速率跟踪速率及权失调噪声之间的要求也是相互矛盾的，的收敛速度与调整步长有关，如果为了缩短响应时间而加大运算步长，过大的步长会使运算过程产生发散，不能跟踪目标。也就是说，步长增大可以使收敛速率加快，但是会使权失调噪声增大，跟踪速度减小，从而影响稳定性。为了克服这缺点，人们研究出了各种各样的变步长的改进算法。尽管各种改进算法的原理不同，但变步长自适应算法基本上遵循如下调整原则即在初始收敛阶段或未知系统参数发生变化时，步长应比较大，以便有较快的收敛速度或对时变系统的跟踪速度而在算法收敛后，不管主输入端干扰信号有多大，都应保持很小的调整步长以达到很小的稳态失调噪声。递推最小二乘法即算法，是最小二乘法的递推形式引出种自适应算法，它是严格以最小二乘方准则为依据的算法。其主要优点就是收敛速度快，其收敛性能与输入信号的频谱特性无关。主要缺点是每次迭代计算量很大对于阶横向滤波器，计算量数量级为。算法与算法的基本差别如下，绿色曲线代表，从图中可以看出越小，误差信号收敛越快。而图为滤波器系数曲线，从图中看出系数以时间常数的指数曲线收敛，越大，时间常数越小。基于信号增强器的设计输入信号为其中是附加的白噪声。应用于自适应滤波器的算法可描述如下自适应增益行向量，大小先验误差，自适应滤波器系数行向量，大小,。输入信号的自相关转制矩阵，大小,。自适应滤波输出图平均方差误差图滤波器系数曲线仿真实验结果图输入信号图参考信号本文滤波器阶数为，采样周期取，图为输入信号，它有两部分构成，即参考信号原始信号加高斯白噪声。图为参考信号即为未被噪声污染的原始信号，而图是误差信号和输出信号，红色曲线代表输出信号，蓝色曲线代表误差图误差和输出信号图滤波器系数和变化曲线。图是滤波器系数变化曲线，从以上几幅图中可以看出系数的变化曲线在步时有个超调，这是由于向量为零，所以步以后仅代表值。获得的滤波器的传递函数也类似于滤波器的传递函数，相应的预测也类似。它的中心频率调整为正弦信号频率，即，如下图所示图为合成滤波器幅频特性和相频特性其中上半部分图形为幅频特性曲线，下半部图合成滤波器传递函数的幅频特性和相频特性图矩阵曲线分曲线为相频特性曲线，而图为矩阵曲线，曲线在采样步数时突变。步以后曲线值变小，使滤波器不能再根据输入信号的统计变换进行调整。第五章总结与展望