1、“.....拉格朗日是最开始怀疑这种求根公式的存在性的数学家。他分析了前人所得的次数低于五的代数方程都可以作适当的变量代换化为求解次数较低的辅助方程，但是按这种方法得到的辅助方程的次数却升到六次，所以此方法不行。年，拉格朗日发表了篇论文关于方程的代数解法的思考。他还找出个般的方法同时解决次方程的求根公式，因为他认为次的方程解决已经存在偶然性了。到了年，他的徒弟，意大利的内科医生鲁菲尼证明了拉格朗日所采用的寻找预解式的方法对于五次方程的确是失效的。年，高斯已经意识到了这个问题是不能解决的。可是，包拉格朗日在内没有人给出不存在性的证明。不可能性的证明。阿贝尔提出高于四次的方程不能用根号求解高次方程不都是代数可解的最开始证明高于四次方程不能用根号求解的是挪威的数学家阿贝尔。他于年月日完成了题目为关于类特殊的代数可解方程的文章，发表在克雷尔杂志的第四卷上......”。

2、“.....其中分圆方程就属于这类。在此篇论文中，阿贝尔证明了下述定理对于个任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的个根有理地表出，并且任意两个根与这里,均为有理函数，满足关系，那么所考虑的方程总是代数可解的。假定这个方程是不可约的，那么可把原方程的解法分别化成个阶方程个阶方程个阶方程的解法。阿贝尔的后续研究阿贝尔遗作中有篇未完成的手稿，即关于函数的代数解法文中叙述了方程论的发展状况，又重新讨论了特殊方程可解性的问题，为后来伽罗瓦遗作的出版开辟了道路。阿贝尔暗示出种重要的思维方法，他认为在解方程之前，应首先证明其解的存在性，这样可使整个过程避免计算的复杂性。在代数方程可解性理论研究中，他提出了个研究纲领，也就是在他的工作中需要解决两类问题是构造任意次数的代数可解的方程二是判定已知方程是否可用根式求解，他试图刻画可用根式求解的方程的特性......”。

3、“.....他只解决了第类问题。后来伽罗瓦接过他的工作，用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题，建立了现在所谓的伽罗瓦理论。伽罗瓦群论创建的群伽罗瓦在证明不存在个五次或高于五次的方程的般根式解法时，与拉格朗日的做法相似，也是从方程的根的置换入手。在他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了些确定的准则以判定个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好引导他去考虑种称之为群的元素集合的抽象代数理论。伽罗瓦首次提出了群这术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，定义了置换群的概念他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程理论问题转化为群论的问题来解决。他引入了不少有关群论的新的概念，产生了伽罗瓦群论，后人都称他为群论的创始人。伽罗瓦群论的证明思路对有理系数的次方程假设它的个根,的每个变换叫做个置换......”。

4、“.....个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。引进基域及基域上不可约方程的概念考虑所有根置换构成的群引进伽罗瓦预解式引进伽罗瓦群进而证明其主要定理利用群和域的关系，使得方程的伽罗瓦群同构于原来的群引进可解群的概念，方程根式可解当且仅当方程群是可解的证明般五次方程不可用根式求解伽罗瓦理论对于般的次方程，这个群由个根的全部,置换组成。它的阶当然是这个群称为级对称群。对每个级对称群，不难找到合成序列这里的极大正规子群具有阶,它仅有的正规子群是恒等元素。因此指数是和,。当大于不为素数因此，大于的般方程不能用根式求解。伽罗瓦群论的深远影响伽罗瓦创立群论是为了应用于方程理论，但他并不局限在此方面，他把群论进行了推广，作用于其他研究领域......”。

5、“.....伽罗瓦群论的理论太深奥，对于世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想，以至他的论文没有得到发表。更不幸的是伽罗瓦在岁时几类能用根式求解的五次方程高等数学研究致谢论文终于写完了，这是对我大学四年学习的最好的检验。经过这次撰写论文，是我认识到了自身的不足，提高了很多的能力，比如问题分析的能力思考能力解决问题的能力严谨的工作作风等等。首先我要感谢我的导师吕淑婷老师对我的悉心指导，在撰写论文期间，吕老师帮助我确定了论文的题目，理清了论文的思路。老师的这种严谨的作风诲人不倦的态度使我受益终生。其次还要感谢学院老师和四年来起走过大学时光的同学们的关心和支持。感谢班主任孙滢老师的在学习期间对我的严格要求。感谢同学的热心帮助。在此同时要感谢很多专家和学者，本文引用了很多的他们的文章。因场决斗而逝去......”。

6、“.....其中包括伽罗瓦生中被保留下来的篇论文和封给舍瓦列耶的信。直到年，他的理论才为人们所理解和接受伽罗瓦超越时代的天才思想才逐渐被人们所理解和承认，至今已成为门蓬勃发展的学科抽象代数学。伽罗瓦避开了拉格朗日的难以捉摸的预解式而巧妙地应用了置换群这工具，他不但证明了般代数方程，当时不可能用根号求根，而且还建立了具体数学系数的代数方程可用根号求解的判别准则，举出不能用根号求解的数字系数代数方程的实例。他透彻地解决了这个长达二百多年来使不少数学家伤脑筋的问题。许多数学家的努力没有取得成绩，原因在于问题的解的存在性，实际上无解本身种答案。著名的希尔伯特的个问题有好几个都是无解的，但是这并不妨碍数学问题在数学史上产生深远的影响。在年巴黎数学家代表大会上的讲演中，希尔伯特谈到不可解问题时说也许正是不仅如此，加上其他哲学上的因素，给人们以这样的信念......”。

7、“.....或者是成功地对所给的问题作出回答，或者是证明该问题的解的不可能性，从而指明解答原先问题的切努力归于失败通过不可证明性，这些问题对科学来说是最满意最有用的解决方式了。希尔伯特又引用永动机的失败的例子，说明了自然力的不存在性。伽罗瓦所发现的结果，他的奇特思想和巧妙方法，利用同构性构建置换群和方程根之间的运算，反过来说明了可解群的种类，现在又成为全部代数的中心内容伽罗瓦群论的数学哲学意蕴伽罗瓦在数学观和方法论上是很独特的，创建了群结构思想方法，并且预见了它的重要性。他认为在人类的全部知识中，纯粹分析是个非物质化最符合逻辑而且又是唯地完全不以感性认识为转移的知识部分。因此数学家不应该带着主观意识去认识和发现真理，也不能凭着主观意识去研究和探索真理。人们不能凭空想象五次根式的存在，人们完全可以对其提出质疑，而应该使计算听命自己的意志，把数学运算归类......”。

8、“.....而不是按照外部特征加以分类这就是我所理解的未来数学家的任务，也是我要走的路。结论世纪人们发现三次四次代数方程的根，它们都可以表示成方程系数的加减乘除以及开方来表示，称为方程的根式解。历史上，第个宣布不可能用根式解四次以上的方程的数学家是拉格朗日。拉格朗日在年发表关于代数方程解的思考的文章中，指出五次及五次以上的方程不可能有象三四次方程那样的得到般解。接着年意大利数学家鲁菲尼得出这样个结论，不可运用加减乘除及开方的代数方法和方程的系数表示出五次方程根的般解。但他的证明既不完整，也不充分严谨。所以，他的结论也被人们认定为假说。但人类的智慧是无限的。世纪初，阿贝尔还在读中学时侯，就被五次方程求根公式的问题吸引了，全力以赴投入研究这个问题。经过多年的苦心钻研，阿贝尔终于解决了元五次方程解的问题，以严谨的公式证明了鲁菲尼假说，解决了五次方程求根公式这颗数学难题......”。

9、“.....另方面也举例证明了有的方程能用根式解。能用根式解或者不能用根式解的方程，到底用什么来判断呢阿贝尔在解决这个问题之前，就病死了。科学的接力棒总是要继续往传下去的。法国的年轻数学家伽罗瓦解决了这问题，他在年间完成的著作中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件。在这个问题论述中，伽罗瓦实际上建立了群的理论，当然伽罗瓦用到的只是种特殊的群，即置换群。五次方程根式解的问题终于被证实了。数学问题尽管艰深无比，但人类的智慧是无穷无尽的。参考文献赵增逊从求根公式到预解式西北大学学报自然科学版王玉敏五次方程的求根公式及其收敛性曲阜师范大学学报自然科学版赵国喜,王宏伟次方程的种统解法数学的实践与认识李青燕从五次方程根式求解到伽罗瓦理论及其数学哲学意蕴太原师范学院学报自然科学版王宵瑜对解代数方程的贡献西北大学学报自然科学版林永......”。