的方程为设弦的中点为则由点，为椭圆上的点，可知，两式相减，得，将得解得，过椭圆内点且被这点平分的弦所在直线的方程是答案解析设直线与椭圆交于两点，由于两点均在椭圆上，故两式相减得又是的中点，直线的方程为即如图，点，分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，连结如果点的坐标为求椭圆的方程试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论解方法由条件知，故直线的斜率为因为⊥，所以直线的方程为，故，由题设知，解得，故椭圆的方程为方法二设直线与轴交于点由条件知，，因为∽，所以，即，解得所以解得，故椭圆方程为点的坐标为点的坐标为，的方程为，即将的方程代入椭圆的方程，得而，上式可化为，解得，直线与椭圆只有个公共点湖北在平面直角坐标系中，点到点，的距离比它到轴的距离多记点的轨迹为求轨迹的方程设斜率为的直线过定点求直线与轨迹恰好有个公共点两个公共点三个公共点时的相应取值范围解设点依题意得，即，化简整理得故点的轨迹的方程为在点的轨迹中，记，即当∈∞，∪，∞时，直线与没有公共点，与有个公共点，故此时直线与轨迹恰好有个公共点ⅱ若，由解得∈或，为轴上动点，经过点的直线≠与双曲线有且只有个交点，则双曲线的离心率为答案解析由双曲线的方程可知渐近线方程为经过点的直线≠与双曲线有且只有个交点，此直线与渐近线平行，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于点，且则答案解析不妨设直线的倾斜角为，其中经过圆的渐近线方程为，所以直线与双曲线没有公共点在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为且点，在上求椭圆的方程设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程解根据椭圆的左焦点为知，又根据点，在椭圆上，知，所以，所以椭圆的方程为因为直线与椭圆和抛物线都相切，所以其斜率存在且不为，设直线的方程为≠，代入椭圆方程得，即，由题意可知此方程有唯解，此时，即把≠代入抛物线方程得，由题意可知此方程有唯解，此时，即联立得解得，所以或所以直线的方程为或思维升华研究直线和圆锥曲线的位置关系，般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解已知直线，椭圆试问当取何值时，直线与椭圆有两个不重合的公共点有且只有个公共点没有公共点解将直线的方程与椭圆的方程联立，得方程组将代入，整理得方程根的判别式当，即时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线与椭圆没有公共点题型二弦长问题例已知椭圆的个顶点为离心率为直线与椭圆交于不同的两点，求椭圆的方程当的面积为时，的中点坐标为则的方程为已知双曲线上存在两点，关于直线根，所以将④代入，得，即，所以，解得，即直线的斜率为题型三中点弦问题例已知椭圆为，则的方程为由，得而，是这个方程的两根，所以，④由，得而，是这个方程的两，因与同向，且，所以，从而，即，于是设直线的斜率焦点，所以又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为所以联立，得，故的方程为如图，设共弦的长为过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向求的方程若，求直线的斜率解由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的个时也往往利即，于是设直线的斜率焦点，所以又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为所以联立，得，故的方程为如图，设共弦的长为过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向求的方程若，求直线的斜率解由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的个时也往往利用根与系数的关系设而不求法简化运算涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解湖南已知抛物线的焦点也是椭圆的个焦点与的公共时也往往利用根与系数的关系设而不求法简化运算涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解湖南已知抛物线的焦点也是椭圆的个焦点与的公共弦的长为过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向求的方程若，求直线的斜率解由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的个焦点，所以又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为所以联立，得，故的方程为如图，设，因与同向，且，所以，从而，即，于是设直线的斜率为，则的方程为由，得而，是这个方程的两根，所以，④由，得而，是这个方程的两根，所以将④代入，得，即，所以，解得，即直线的斜率为题型三中点弦问题例已知椭圆的右焦点为过点的直线交于，两点若的中点坐标为则的方程为已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为答案或解析因为直线过点，和点所以直线的方程为，代入椭圆方程消去，得，所以的中点的横坐标为，即，又，所以，所以的方程为设的中点则④由得，显然≠，即关于直线对称又，代入抛物线方程得，解得或，经检验都符合思维升华处理中点弦问题常用的求解方法点差法即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率根与系数的关系即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为元二次方程后，由根与系数的关系求解设抛物线过定点且以直线为准线求抛物线顶点的轨迹的方程若直线与轨迹交于不同的两点且线段恰被直线平分，设弦的垂直平分线的方程为，试求的取值范围解设抛物线顶点为则焦点，再根据抛物线的定义得，即，所以轨迹求的中点坐标为则的方程为已知双曲线上存在两点，关于直线根，所以将④代入，得，即，所以，解得，即直线的斜率为题型三中点弦问题例已知椭圆为，则的方程为由，得而，是这个方程的两根，所以，④由，得而，是这个方程的两，因与同向，且，所以，从而，即，于是设直线的斜率焦点，所以又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为所以联立，得，故的方程为如图，设共弦的长为过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向求的方程若，求直线的斜率解由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的个时也往往利即，于是设直线的斜率焦点，所以又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为所以联立，得，故的方程为如图，设共弦的长为过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向求的方程若，求直线的斜率解由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的个时也往往利用根与系数的关系设而不求法简化运算涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解湖南已知抛物线的焦点也是椭圆的个焦点与的公共时也往往利用根与系数的关系设而不求法简化运算涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解湖南已知抛物线的焦点也是椭圆的个焦点与的公共弦的长为过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向求的方程若，求直线的斜率解由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的个焦点，所以又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为所以联立，得，故的方程为如图，设，因与同向，且，所以，从而，即，于是设直线的斜率为，则的方程为由，得而，是这个方程的两根，所以，④由，得而，是这个方程的两根，所以将④代入，得，即，所以，解得，即直线的斜率为题型三中点弦问题例已知椭圆的右焦点为过点的直线交于，两点若的中点坐标为则的方程为已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为答案或解析因为直线过点，和点所以直线的方程为，代入椭圆方程消去，得，所以的中点的横坐标为，即，又，所以，所以的方程为设的中点则④由得，显然≠，即关于直线对称又，代入抛物线方程得，解得或，经检验都符合思维升华处理中点弦问题常用的求解方法点差法即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率根与系数的关系即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为元二次方程后，由根与系数的关系求解设抛物线过定点且以直线为准线求抛物线顶点的轨迹的方程若直线与轨迹交于不同的两点且线段恰被直线平分，设弦的垂直平分线的方程为，试求的取值范围解设抛物线顶点为则焦点，再根据抛物线的定义得，即，所以轨迹的方程为设弦的中点为则由点，为椭圆上的点，可知，两式相减，得，将得解得，过椭圆内点且被这点平分的弦所在直线的方程是答案解析设直线与椭圆交于两点，由于两点均在椭圆上，故两式相减得又是的中点，直线的方程为即如图，点，分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，连结如果点的坐标为求椭圆的方程试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论解方法由条件知，故直线的斜率为因为⊥，所以直线的方程为，故，由题设知，解得，故椭圆的方程为方法二设直线与轴交于点由条件知，，因为∽，所以，即，解得所以解得，故椭圆方程为点的坐标为点的坐标为，的方程为，即将的方程代入椭圆的方程，得而，上式可化为，解得，直线与椭圆只有个公共点湖北在平面直角坐标系中，点到点，的距离比它到轴的距离多记点的轨迹为求轨迹的方程设斜率为的直线过定点求直线与轨迹恰好有个公共点两个公共点三个公共点时的相应取值范围解设点依题意得，即，化简整理得故点的轨迹的方程为在点的轨迹中，记，即当∈∞，∪，∞时，直线与没有公共点，与有个公共点，故此时直线与轨迹恰好有个公共点ⅱ若，由解得∈或，为轴上动点，经过点的直线≠与双曲线有且只有个交点，则双曲线的离心率为答案解析由双曲线的方程可知渐近线方程为经过点的直线≠与双曲线有且只有个交点，此直线与渐近线平行，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于点，且则答案解析不妨设直线的倾斜角为，其中经过圆的渐近线方程为，所以直线与双曲线没有公共点在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为且点，在上求椭圆的方程设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程解根据椭圆的左焦点为知，又根据点，在椭圆上，知，所以，所以椭圆的方程为因为直线与椭圆和抛物线都相切，所以其斜率存在且不为，设直线的方程为≠，代入椭圆方程得，即，由题意可知此方程有唯解，此时，即把≠代入抛物线方程得，由题意可知此方程有唯解，此时，即联立得解得，所以或所以直线的方程为或思维升华研究直线和圆锥曲线的位置关系，般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解已知直线，椭圆试问当取何值时，直线与椭圆有两个不重合的公共点有且只有个公共点没有公共点解将直线的方程与椭圆的方程联立，得方程组将代入，整理得方程根的判别式当，即时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线与椭圆没有公共点题型二弦长问题例已知椭圆的个顶点为离心率为直线与椭圆交于不同的两点，求椭圆的方程当的面积为时，