满足条件的点是脐点，如果不全为零，称这种脐点为曲面上的圆点。推论脐点处任上已知点来说即为常数，并且上式中不含，的次项，所以上述方程表示以为中心的有心二次曲线。这样，曲面上的点由它的迪潘指标线可以进行分类如果，则点成为曲面的椭圆点，这时迪潘指标线是椭圆如果，则点成为曲面的双曲点，这时迪潘指标线是对双曲线。如果，则点成为曲面的抛物点，这时迪潘指标线是对平行直线。如果，则点成为曲面的平点平面上的点都是平点，这时迪潘指标线不存在。设曲面上点处的两个方向为和，如果包含这两个方向的直线是点的迪潘指标线的共轭直径，则方向和成为曲面的共轭方向。定义曲面上点的两个方向，如果它们即正交又共轭，则称为曲面的主方向，主方向对应的法曲率称为曲面的主曲率。由定义知道，主方向总是成对出现的。与是对主方向的条件也可以表示为，性质曲面上每点至少有两个主方向是曲面上主方向的条件是或定义称曲面上满足条件的点是脐点，如果不全为零，称这种脐点为曲面上的圆点。推论脐点处任方向为主方向，对应的主曲率是常数，在圆点处此常数不为零非脐点处有且只有对主方向，这两个主方向互相共轭垂直。证在非脐点处，主方向的方程为，主方向方程的解与垂直的条件是推论脐点处任上已知点来说现的。与是对主方向的条件也可以表示为，性质曲面上每点至少有两个主方向是曲面上主方向的条件是的迪潘指标线的共轭直径，则方向和成为曲面的共轭方向。定义曲面上点的两个方向，如果它们即正交又共轭，则称为曲面的主方向，主方向对应的法曲率称为曲面的主曲率。由定义知道，主方向总是成对出平行直线。如果，则点成为曲面的平点平面上的点都是平点，这时迪潘指标线不存在。设曲面上点处的两个方向为和，如果包含这两个方向的直线是点分类如果，则点成为曲面的椭圆点，这时迪潘指标线是椭圆如果，则点成为曲面的双曲点，这时迪潘指标线是对双曲线。如果，则点成为曲面的抛物点，这时迪潘指标线是对上式中的系数与曲面上的方向无关，它们对于曲面上已知点来说即为常数，并且上式中不含，的次项，所以上述方程表示以为中心的有心二次曲线。这样，曲面上的点由它的迪潘指标线可以进行法曲率半径的绝对值。过点沿方向即画线段，使其长度等于，则对于切平面上所有的方向，点的轨迹成为曲面在点的迪潘指标线。迪潘指标线的方程为取点为原点，曲面的坐标曲线在点的切向量和为基向量，则它们构成曲面在点的切平面上的坐标系。我们给出曲面上点的个方向，设是对应于方向的法曲率，为做处沿方向法载线。性质设是沿方向的法曲率，是法载线在处的曲率，在时时，法载线向方向弯曲时，法载线向相反方向弯曲定义我们Ⅱ是曲面沿方向的法曲率。通过曲面上点所以这不可能定理主方向为渐近主方向对应与方向的特征根为。证设主方向对应的特征根为，所以因为，全为实数，且不全为零所以，定理中心二次曲线至少有两条主直径，具体地，圆的任意实直径均为主直径，非圆的中心曲线仅有两条即相垂直又相共轭的主直径无心二次曲线只有条主直径。线心曲线的主直径就是唯的主直径，赤即中心直线或渐近线。曲面的主方向设，是个曲面，矢函数的微分是其系数，是，的可微函数，也可以看成曲面上的函数。定义称是曲面的第基本形式，是曲面的第基本量。曲面的第基本形式也叫做曲面的弧长元素，可以用来计算曲面上曲线的弧长，曲面上区域的面积及曲面上两曲线的夹角等。定义称是曲面的第二基本形式，其系数，与方向垂直，则称这直径为二次曲线的主直径而直径方向及方向均成为二次曲线的主方向。主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴。如果二次曲线为中心曲线，那么根据主方向的定义非渐近方向为主方向与共轭方向垂直因此成为中心二次曲线的主方向的条件是成立，其中≠，或把它改写成可见，这是个关于，的齐次线性方程组，而，不能全为零。所以即可见，若求二次曲线，的主方向，只需先求方程式的根，再代入式就能得到它的主方向。如果二次曲线为非中心二次曲线，那么它的任何任直径的主方向总是它的唯的渐近方向而垂直与它的方向显然为所以非中心二次曲线的主方向为渐近主方向非渐近主方向如果我们把式或式推广到非中心二次曲线，即式中的可取等于零，这样当时，方程式的两根为，把它代入式所得的主方向，正是非中心二次曲线的渐近主方向与非中心二次曲线主方向。定义方程式成为二次曲线的特征方程，其根成为曲线的特征根。性质二次曲线的特征根全为实数事实上，二次曲线的特征根不全为零。事实上，若不然，则即所以这不可能定理主方向为渐近主方向对应与方向的特征根为。证设主方向对应的特征根为，所以因为，全为实数，且不全为零所以，定理中心二次曲线至少有两条主直径，具体地，圆的任意实直径均为主直径，非圆的中心曲线仅有两条即相垂直又相共轭的主直径无心二次曲线只有条主直径。线心曲线的主直径就是唯的主直径，赤即中心直线或渐近线。曲面的主方向设，是个曲面，矢函数的微分是