的充要条件的表达式。而特殊形式的积分因子成为了求解些积分因子的好方法，并使更般的积分因子求解的发现豁然开朗。在前面讨论了积分因子后，而积分因子的求解无固定方法可循，第四节力图通过对全微分方程的探索，通过不同的分类方式，提出了求解积分因子较有效的几种方法，突出每种方法的特点，但有时也可以多种方法混合使用。介绍积分因子归根到底是为了求解微分方程，更好的了微分方程，最后第五节推导出四种常见的阶微分方程的积分因子的般形式，其形式简单易行，让大家了解求解微分方程方法的多样性，通过观察比较学习简易解题。本文在阶微分方程的范围内对积分因子作了粗浅的讨论，还需我们今后在学习过程中认真探索，对于积分因子在偏微分方程的应用在微积分学中的应用等多方面还需我们进步研究探讨，以更全面的了解积分因子。第二章积分因子问题综述积分因子的定义当方程不是恰当方程时,则。如果存在连续可微的函数,未找到引用源。，使得为恰当方程，即存在函数,,使得，则称,为方程的积分因子。此时,是方程的通解，因而也就是方程的通解。例如方程不是全微分方程，但是由于，可知是个积分因子。可以验证，也是该方程的积分因子。结论如果,是微分方程的积分因子，即存在可微函数,使得，那么,也是方程的积分因子的充要条件是,，这里是的可微函数。证明充分性这里是的个原函数，这就意味着是恰当方程，其通解就是为任意常数。必要性因为,是方程的积分因子，所以存在可微函数,使得，两边乘以得，所以，这里令为的可微函数。积分因子的存在条件命题对于方程，当时，,是其积分因子的充要条件是，即，也即。证明,是其积分因子为恰当方程又。另由，得,为方程的积分因子的充要条件是,未找到引用源。为方程的解。积分因子的形式理论上可以证明积分因子必定存在，但是实际上没有个般方法，般的常微分方程教材对于积分因子只给出了只与和只与有关的积分因子的形式及充要条件，我们在此基础上再探讨些特殊形式的积分因子及其存在的充要条件，并推导出其般形式的充要条件。般教材给出的积分因子形式及其存在的充要条件参考王高雄等编写的常微分方程，其证明过程略只与有关的积分因子方程存在只与有关的积分因子的充要条件是，这里仅为的函数,可以求得相应的积分因子具有这种形式。例求解方程的积分因子及通解。解因为，，所以，，，从而原方程不是恰当方程。考虑，从而方程有只与有关的因子。原方程两边乘以积分因子，变为，整理得，所以通解为为任意常数。只与有关的积分因子方程存在只与有关的积分因子的充要条件是,这里仅为的函数，可以求得相应积分因子具有这种形式。例求解微分方程的积分因子及通解。解因为，所以方程的通解为为任意常数。此例可归结为两边乘以，这种情形主要运用幂函数的微分消去常数因子，从而化方程为恰当方程。种特殊积分因子的求法讨论方程有两个单变量函数乘积形式,的积分因子的求法。参考周良金的类微分方程的积分因子的探讨，下面引用了周良金的两个定理定理对于方程，若存在，使满足，则,是的积分因子。证明由式得，是的个积分因子，即是恰当方程，由此可得,是的积分因子。注意应用此结论的关键在于如何寻找，事实上，若成立，则必有，即。于是预求，只需寻找适当的，使得为变量的函数即可此时。定理对于方程，若存在，使满足，则,是的积分因子。例利用上述理论可求方程的积分因子。分析，，由于，，所以此方程不是恰当方程，且积分因子也不是或的单变量函数。事实上，若存在满足式，则有为的函数，显然当时，，于是由式得，即，由定理得,。对于有些问题，可设存在使成立，从而逼出。结论总的看来，求解积分因子的方法很多，观察法适合比较简单的微分方程积分因子的求解，分组法则适合较复杂些的微分方程。要想提高做题速度，在做题过程中还要认真审题，把握好各个题目的特点，熟练掌握每种方法的特点，然后选取种合适的方法进行求解，有时也可以多种方法混合使用。四种常见类型的阶微分方程的积分因子解法由阶微分方程的初等解法知，四种基本类型的方程均可通过积分因子化为恰当方程。在历史上，欧拉试图利用积分因子的方法统处理这问题，虽然结果不是很理想，但至少说明点，这四种方程的积分因子均存在，均可运用恰当方程的方法求解，所以掌握好积分因子的求法是十分必要的。下面就此进行说明。参考杨淑娥的阶微分方程的积分因子解法变量分离方程变量分离方程的般形式为，写成微分形式即，两边同时乘以得，此时易得方程的通解为为任意常数，由此可知方程有积分因子。例求的积分因子及通解。解原方程变形为，得，于是积分因子为,，方程两边乘以上积分因子得，两边积分得原方程的通解为为任意常数。齐次方程由可分离变量方程的积分因子可以导出齐次方程的积分因子。设齐次方程为，其中，方程两边同乘以,并令代入化为对称式，方程可分离变量型，其积分因子为，将代入并乘以,得齐次方程的积分因子,。证略。注当时有相同的积分因子。例求解微分方程的积分因子及通解。解积分因子为,，方程两边乘以积分因子得，取,，由全微分方程通解公式有,，原方程的通解为，即。阶线性方程线性方程的般形式为，写成微分形式得，其中，，因此，，所以，从而方程有积分因子。由此不难求得方程的通解为。注同理可得的积分因子为。例求的积分因子及通解。解原方程化为般形式，，积分因子，方程两边同乘以得，凑微分得，两边积分得通解为任意常数。伯努利方程伯努利方程的般形式为写成微分形式得，两边乘以得，，，则，，所以，则变形后方程的积分因子为，乘以得伯努利方程的积分因子为。例求的积分因子及通解。解由于，，积分因子为,，原方程两边同乘以，并化为对称式，凑微分为，两边积分得通解为为任意常数。般说来，对于以上常见的四种类型的微分方程，均可以找到以上类型的积分因子从而化为全微分方程求解。由此可知利用积分因子可以求解些阶微分方程，但是对于不同类型的方程而言，这并不定是最好最简便的方法，这就要求我们在掌握基本解法的同时学会具体问题具体分析，尽可能采取简便易操作的方法。参考文献王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松常微分方程高等教育出版社,李永玲,陈海鸿与积分因子有关的几个结论陇东学院学报,伍军求解积分因子的几种方法新疆师范大学学报,高正晖阶微分方程三类积分因子的计算南阳师范学院学报,阎淑芳积分因子的存在条件及求法邯郸师专学报,周良金类微分方程的积分因子的探讨襄樊学院学报,杨淑娥阶微分方程的积分因子解法彭城职业大学学报,刘绎玉关于阶方程的积分因子法广东石油化工高等专科学校学报,苑金臣用凑微分法解微分方程例大学数学,致谢在毕业论文即将完成之际，特向曾经给我帮助和支持的人们表示衷心的感谢首先要感谢我的指导老师李中平老师，在我的毕业设计开题调查研究和撰写过程中，李中平老师给予了我耐心细致和全面的帮助，让我学会了如何写论文，如何找资料，也获得了实践锻炼的机会他严谨的治学态度，对我的严格要求使我终身受益在此，我向他表示最真挚的感谢此外，我还要感谢在写论文的过程中给我帮助的同学，正是由于你们的帮助和支持我才能克服个个的困难和疑惑，直至论文的顺利完成目录第章绪论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„