波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即平面平面但是，任何个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。图脉冲响应不变法中的频响混叠现象对模拟滤波器的单位冲激响应进行采样，采样频率为，若使增加，即令采样时间间隔减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。模拟滤波器的数字化方法由于脉冲响应不变法要由模拟系统函数求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应，然后采样后得到，再取变换得，过程较复杂。下面我们讨论如何由脉冲响应不变法的变换原理将直接转换为数字滤波器。设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次般都满足这要求，因为只有这样才相当于个因果稳定的模拟系统，因此可将其相应的冲激响应是的拉普拉斯反变换，即式中,是单位阶跃函数。在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对的采样，即对求变换，即得数字滤波器的系统函数将式的和式的加以比较，可以看出平面的每个单极点变换到平面上处的单极点。与的部分分式的系数是相同的，都是。如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点位于平面的左半平面，即，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即，因此数字滤波器也是因果稳定的。虽然脉冲响应不变法能保证平面极点与平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个平面与平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随的极点以及系数两者而变化。从式看出，数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔成反比如果采样频率很高，即很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令则有例设模拟滤波器的系统函数为试利用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数。解直接利用式可得到数字滤波器的系统函数为设，则有模拟滤波器的频率响应以及数字滤波器的频率响应分别为把和画在图上。由该图可看出，由于不是充分限带的，所以产生了严重的频谱混叠失真。图例的幅频特性优缺点从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系。因而，个线性相位的模拟滤波器例如贝塞尔滤波器通过脉冲响应不变法得到的仍然是个线性相位的数字滤波器。脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器，冲响应图是实际低通滤波器的幅频特性，以为单位。滤波器长，实际阻带衰减为，通带波动为，均满足设计要求。图例中低通滤波器设计结果窗口法设计的主要优点是简单，使用方便。窗口函数大多有封闭的公式可循，性能参数都已有表格资料可供参考，计算程序简便，所以很实用。缺点是通带和阻带的截止频率不易控制。用频率采样法设计滤波器频率采样法是从频域出发，把给定的理想频率响应以等间隔采样以此作为实际数字滤波器的频率响应的采样值，即令知道后,由定义,可以用这个采样值来惟确定有限长序列，即式中，为待设计的滤波器的单位脉冲响应。其系统函数为以上就是频率采样法设计滤波器的基本原理。此外，由频域内插公式知道，利用这个频域采样值同样可求得滤波器的系统函数线性相位的约束如果我们设计的是线性相位的滤波器，则其采样值的幅度和相位定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束条件。对于第类线性相位滤波器，即偶对称，长度为奇数时，式中第类线性相位滤波器幅度函数关于为偶对称，即如果采样值也用幅值纯标量与相角表示，即并在之间等间隔采样点将代入式与式中，并写成的函数,有由式可知，满足偶对称要求对于第二类线性相位滤波器，即偶对称，为偶数，则其的表达式仍为但是，其幅度函数关于是奇对称的，关于,为偶对称，所以，这时的也应满足奇对称要求对于第三类线性相位滤波器，即奇对称，为奇数，时，式中将代入式与式中，并写成的函数，得即满足奇对称要求。对于第四类线性相位滤波器，即奇对称，为偶数，则其的表达式仍为但是，其幅度函数关于是偶对称的，关于,为奇对称，即所以，这时的也应满足偶对称要求而则与前面公式式相同逼近误差及其改进措施频率采样法是比较简单的，但是我们还应该进步考察，用这种频率采样所得到的系统函数究竟逼近效果如何如此设计所得到的频响与要求的理想频响会有怎样的差别在第章中，我们已经知道，利用个频域采样值可求得滤波器的频率响应，即式中,是内插函数上式表明,在各频率采样点,上因此，采样点上滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等的。但是在采样点之间的频响则是由各采样点的加权内插函数的延伸叠加而成的,因而有定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应曲线形状。理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小。例如,图中的理想特性是梯形响应，变化很缓和，因而采样后逼近效果就较好。反之，如果采样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值的误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和起伏。例如,图中是个矩形的理想特性，它在频率采样后出现的肩峰和起伏就比梯形特性大得多。图频率采样的响应,,,图加过渡带点过渡带二点过渡带三点过渡带如图所示，在频率响应的过渡带内插入个或两个，或三个采样点，这些点上采样最佳值由计算机算出。这样就增加了过渡带，减小了频带边缘的突变，减小了通带和阻带的波动，因而增大了阻带最小衰减。这些采样点上的取值不同，效果也就不同，从式可看出，每个频率采样值都要产生个与内插函数成正比并且在频率上位移的频率响应，而滤波器的频率响应就是与内插函数的线性组合。如果精心设计过渡带的采样值，就有可能使它的相邻频带波动得以减小从而设计出较好的滤波器。般过渡带取，二，三点采样值即可得到满意结果，在低通设计中，不加过渡采样点时，阻带最小衰减为，点过渡采样的最优化设计阻带最小衰减可提高到到左右，二点过渡采样的最优化设计可达到左右，而加三点过渡采样的最优化设计则可达到左右。例用频率采样法设计线性相位滤波器幅度采样值为试设计采样值的相位，并求及的表达式。解因本题所给，且满足偶对称条件由表可知，这是第类线性相位滤波器。相位，因此有例利用频率采样法，设计个线性相位低通数字滤波器，其理想频率特性是矩形的其他已知，采样点数为奇数。试求各采样点的幅值及相位，也即求采样值。解,且低通滤波器幅度特性。由表可知，这属于第类线性相位滤波器。第类线性相位滤波器的幅度特性关于为偶对称，即且有则满足偶对称特性，因而有又故频率采样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合最优化设计缺点是采样频率只能等于的整数倍，因而不能确保截止频率的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数，但这又使计算量加大。滤波器的最佳逼近采用窗函数法设计滤波器方法简单，通常会得到个性能相对很好的滤波器。但是在以下两个方面的问题，这些滤波器的设计还不,,第章滤波器的设计方法教学目的掌握由连续时间滤波器设计离散时间滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等了解常用的窗函数，掌握低通滤波器的频率变换法用窗函数法设计滤波器的方法掌握滤波器的逼近原理与设计方法。教学重点与难点重点本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之。连续时间滤波器设计离散时间滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等常用的窗函数，掌握低通滤波器的频率变换法用窗函数法设计滤波器的方法掌握滤波器的逼近原理与设计方法。难点冲激响应不变法，双线性变换法用窗函数法设计滤波器滤波器的逼近原理与设计方法基本概念选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的