毕业论文：斐波那契数列的应用

但是，如果将满足条件的两个等比数列与逐项相加得到数列则数列仍满足条件，如果能适当选择，使即则就符合斐波那契数列所满足的所有条件。

容易看出，满足条件的斐波那契数列是唯的。

因此满足条件的，决定的数列就是所求的斐波那契数列。

由于，所以可以将条件看成以，为未知数的二元次方程组，解之得，从而又由于，因此所以这里得到了斐波那契数列的通项公式推导方法的关键是满足条件的两个等比数列仍满足条件般不再是等比数列，适当选择的前两项都等于。

推导方法初等代数法已知首先，构建等比数列设化简得与式比较系数可得不妨设解得所以有，即为等比数列。

求出等比数列由以上可得变形得。

令求数列进而得到设，解得。

故数列为等比数列即。

而，故有又有和可得得出表达式至此，我们就推导出了斐波那契数列的通项公式。

推导方法大家都知道斐波那契数列的性质是从第三项开始，后面每项是前面两项的和，即数列要满足式的条件，而式属于线性递归数列，此数列有其般的表达式为式变形为由于因此斐波那契数列性质及其简单证明性质性质性质性质性质性质其中，都从开始取。

性质的证明用数学归纳法当时，左边，右边，所以左边右边。

即时，等式成立。

假设时，等式成立。

即有则当时，即，等式也成立综合，对于所有正整数，均成立。

证必。

其他的性质，都可以利用数学归纳法，类似证明，此处不再赘述。

除此之外，标准的斐波那契数列还有如下的些著名性质，他们大多数都难以证明。

与之差为随着数列继续下去，此差交替地为正或负。

两个相邻数的平方和。

对于任何四个相邻的数下列公式成立。

斐波那契数列中每个数的最右位数字锁构成的数列，每个循环次。

最右两位数字，每个循环次。

最右三位数字，每个循环次。

最右五位数字，每个循环次。

并且，对于所有更多的位数，也有相应的循环。

每第三个数能用整除，每第四个数能用整除，每第五个数能用整除，每第六个数能用整除，等等。

这些除数又构成斐波那契数列。

相邻的斐波那契数列除外无公因数。

除了以外，没个素数的数有素数为其脚码例如，是素数，它的脚码也是素数。

另方面，如果个数的脚码是合数，则该数也是合数。

遗憾的是，反过来不全真有素数为其脚码，未必意味着该数是素数。

第个反例是，脚码是素数，但非素数。

人体中与斐波那契数列有关的知识人的身体的各种比例也暗合斐波那契数列，这从另个方面说明了斐波那契数列的奇妙经过长期的数据统计，人们发现了个很有趣的现象。

人体各个地方的比例好多都符合黄金分割比或其倒数腰以下长度身高腰以上长度腰以下长度颈至腰长度腰以上长度颈以上长度颈至腰长度身高腰以下长度腰以下长度腰以上长度腰以上长度颈至腰长度颈至要腰长度颈以上长度身高腰以上长度腰以下长度颈至腰长度并且你对于自己的手臂了解多少颈以上长度小臂长度小臂长度腰以上长度小臂长度颈以上长度腰以上长度小臂长度腰以下长度小臂长度第二章斐波那契数列与黄金分割何为黄金分割与黄金分割数早在古希腊时代，那时的人们就已经认识到的神奇，并将其称为黄金分割率。

出于对这数字的神奇与偏爱，它被广泛应用到建筑和绘画等各个领域，从巴台农神庙到美国纽约的众议院大楼，甚至于基督十字架的分割比例也由它来定义，黄金分割率已经成为西方人追求外在美的内在规则。

与此同时，人们也逐渐认识到黄金分割率广泛存在于自然界中，几乎无处不在。

从花朵的图案棕榈树的叶子到肚脐对人体的分割。

下面我们来看看黄金分割是怎么定义的般地，设已知线段，若上的点将分成两段，使大段为全段和小段的比例中项。

如下图即，则称点内分线段成中外比。

下面对分线段成中外比的内分点进行分析。

图设有，解得，舍去负根，得则，这就是黄金分割比。

而斐波那契数列前项与后项比的极限这个就是黄金分割数。

二者之间的联系斐波那契数列在黄金分割被应用了很久以后，年斐波那契出版了本名为关于算盘的书。

书中，他用了个简单的数学题提出了斐波那契数列的概念。

问题就是咱们之前谈到的兔子问题。

问题的分析并不复杂，而且我们还可以得到个规律，即每月底的家兔数量将做如下变化，数列中的前两项相加得到数列的下项，这就是斐波那契数列。

将数列中每相邻两数的前者除以后者，其极限结果就是黄金分割率。

即黄金分割律在股市中界上种古老的方法，其中的魅力让人沉醉，其作用也是不胜枚举，好多性质人们现在都还没给出明确的解释。

只是在偶尔的应用中发现他起着至关重要的作用。

在这里，我们将说明如何得到黄金分割线，并根据它们指导下步的买卖股票的操作。

第步，要得到黄金分割线，你要记住以下的数字其中，最为重要，股票的价格极容易在由这个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力。

第二步是找到个点。

这个点是上升行情结束，调头向下的最高点，或者是下降行情结束，调头向上的最低点。

当然，我们知道这里的高点和低点都是指定的范围，是局部的。

只要我们能确认这个趋势无论是上升还是下降已经结束或暂时结束，则这个趋势的转折点就可以作为进行黄金分割的点。

这个点经选定，我们就可以画出黄金分割线了。

在上升行情开始调头向下时，我们极为关心这次下落将在什么位置获得支撑。

黄金分割提供的是如下几个价位。

它们是由这次上涨的顶点价位分别乘上上面所列的几个特殊数字中的几个。

假设，这次上涨的顶点是元，则这几个价位极有可能成为支撑，其中和的可能性最大。

同理，在下降行情开始调头向上时，我们关心上涨到什么位置将遇到压力。

黄金分割线提供的位置是这次下跌的底点价位乘上上面的特殊数字。

假设，这次下落的谷底价位为元，则将可能成为未来的压力位。

其中和以及元成为压力线的可能性最大，超过的那几条很少用到。

此外，还有另种使用黄金分割线的方法。

选择最高点和最低点局部的，以这个区间作为全长，然后在此基础上作黄金分割线，进行计算出反弹高度和回荡高度。

第三章斐波那契数列在生活中应用斐波那契数列在几何上的应用斐波那契数列在几何上的应用我们通过年第十六届江苏省初中数学竞赛卷中的个例子来说明例现有长为的铁丝，要截成段，且每段的长度不小于。

如果其中任意小段都不能拼成三角形则的最大值为多少分析根据三角形三边关系定理，要构成个三角形的充要条件是两边之和大于第三边所以不能拼成角形的充要条件是任意两边之和应大于或者小于第边。

由于题目要求每段的长度不能小于因此根据题目要求可以先截取个的铁丝。

为了不拼成三角形，所以第三段截取为了使最大，所以要使剩下的铁丝尽可能长，后面截取的每段总是前面相邻两段之和。

以此类推，依次截取的长度为这些数字为斐波那契数列的前项，和为，与相差，因此最后段可以截取，这时达到最大为。

我们看到题目中的个条件每段的长度不小于起到了关键的作用，正是这个条件产生了斐波那契数列，也正是这个条件使得三角形三边关系定理与斐波那契数列产生了联系。

斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用对中国主要城市道路的研究，可以得出中国道路在设计上的个规律中国道路内路与外路的比值接近于或接近于其倒数。

根据间距比值可将中国环路分为三种类型如下图中的型标准比值为型标准比值为型在纵横向上标准比值为，在横纵向上标准比值为。

通过大量的实例证明，中国的道路规划基本上符合这规律。

该原理适用于各种规模各种性质和各种形态的城市环路运用该原理可对中国城市环路进行规划建议和合理性评价。

图城市交通道路模拟图斐波那契数列在生物学上的应用斐波那契数列也可以应用在生物学上例如，树木的生长，由于新生的枝条，基本上都需要段休息时间，补充自己由于新生枝条的消耗，而后当补满消耗之后才能萌发新枝因此，树苗在段间隔，比如年，以后长出条新枝第二年新枝休息，老枝继续萌发此后，老枝与休息过年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年休息这样，株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列见图这个规律，就是生物学上著名的鲁德维格定律。

图鲁德维格定律大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数例如，兰花茉利花百合花有个花瓣，毛茛属的植物有个花瓣，翠雀属植物有个花瓣，万寿菊属植物有个花瓣，紫菀属植物有个花瓣，雏菊属植物有或个花瓣另外，向日葵花盘松果的种子排列都是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数这些植物懂得斐波那契数列吗应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中直都能最佳地利用空间要考虑到叶子是片片逐渐地生长出来，而不是下子同时出现的，每片叶子和前片叶子之间的角度应该有合适的角度种子的生长方式也是如此，这似乎是植物排列种子的优化方式，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉第四章小结斐波那契数列的产生于世纪开始，它的历史悠久，魅力十足，以至于人们对它的研究直持续到现在本论文介绍了斐波那契数列的产生，论证了该数列比较重要的几个性质以及它与黄金分割率之间的种种关系，并说明了斐波那契数列于各个领域的相关应用纵观斐波那契的活动，他在西方的数学复兴史中占有不可替代的地位。

如法国大革命时期政治活动家，军事家卡尔诺在讲述斐波那契的成就时说的那样我们可以假定，所有我们掌握的希腊之外的数学知识都是由于斐波那契的存在而得到的。

斐波那契对古代数学作了崭新的思考，更重要的是地把它推向前进。

于算术方面，他显示了在计算上的高超才能，并把矢量和零当作数于几何方面，他既具备欧几里德的严谨又懂得如何应用新的代数方法解决几何问题。

斐波那契的工作对后世的影响源远流长，可以说是无所不在。

参考文献斐波那契美西格尔英译计算之书纪志刚，等译北京科学出版社，克莱古今数学思想第册张理京，等译上海上海科学技术出版社，李文林算法演绎倾向与数学史的分期自然辩证法通讯欧阳绛数学方法溯源，大连理工大学出版社。

杨传富，类数列通项公式的矩阵算法，期刊论文，高等数学研究昊文俊关于研究数学在中围的历史与现状东方数学典籍九章算术及其刘徽注研究序言自然辩证法通讯昊文俊世界著名数学家传略北京科学出版社，张维忠数学课程与数学研究杭州浙江大学出版社吕荣海，等奥普尔液肥在萝卜上的应用福建农业科技徐善伟东学西渐与西方文化的复兴上海上海人民出版社，谢辞在校的这四年时间里很感谢老师们对我的谆谆教诲，是你们教会了我们勤奋学习，诚实做