2016年自考初等数论考试试题题库及答案解析

分求方程的整数解分求方程的整数解分求不定方程的整数解分求不定方程的所有正整数解分将写成三个分数之和它们的分母分别是和分求方程的整数解分求方程的整数解分求方程的正整数解分求的个位数字与最后两位数字十进制分解同余方程分解同余方程分解同余式组分，解同余式分解同余方程分求出模的所有二次剩余和二次非剩余分判断方程有没有解分，已知是素数判定方程是否有解分求以为其二次剩余的全体素数分计算分计算分解同余式组分四证明题设是两个给定的非零整数且有整数使得求证若则分证明，又，设是整数且则分证明，若是奇数则都是奇数则不可能即在中至少有个偶数如果只有个偶数不妨设为则由定理知令则若即得把代入检验可知若则易知，设是正整数证明是同余方程的解证明由定理则是模的二次非剩余的充要条件是分证明若则由定理是素数则或中必有个成立是模的二次剩余的充要条件是设都是模的平方剩余，都是模的平方非剩余求证都是模的平方剩余是模的平方非剩余分证明，由定理知得证，设为两个形如的奇质数求证若无解则有两个解分证明均为形如的数均为奇数又无解则有解设是其解则因为且也是其解又因为二次同余方程至多有两个解故恰有两个解为，设是适合的素数是模的平方剩余证明也是模的平方剩余分，证明令由定理知则，设是整数证明的任何奇因数都是的形式分证明由于奇数都可表示成奇素数之积而且任意多个形如的整数之积也具有的形式我们只需证明若素数是的因数则具有的形式若则即由以上推论知，若是素数则同余方程有个解分，证明由费马定理定理可知任意与互质的数都是它的解因此这个同余方程恰好有个不同的解即，设求证分求证分证明若则分，证明易知与有相同的素因数设它们是则设是素数则对于任意的整数有分，证明若由定理若则结论成立初等数论本科填空题每空分写出以内的所有素数，设是任意两个不为零的整数，则若，是非零整数，则与互素的充要条件是存在整数适写出的标准分解式是，其正约数个数有个设与是正整数则在中能被整除的整数恰有个设，是非零整数，是整数，方程有整数解，的充要条件是，若整数集合是模的完全剩余系，则中含有个整数当素数时，，设是正整数则设是素数则对于任意的整数有已知，则同余方程的解是同余方程的解是，若，是模的二次剩余的充要条件是，若，是模的二次非剩余的充要条件是，设是奇素数则，设是奇素数则二判断题判断下列结论是否成立，每题分，且对任意的有成立，若则不成立，若则不成立成立不成立，若则或至少有个成立不成立，若则不成立若通过模的完全剩余系，则是整数通过模的完全剩余系成立若与都是模的完全剩余系不成立，则也是模的完全剩余系不成立若，，通过模的简化剩余系，则也通过模的简化剩余系不成立若则成立同余方程和同余方程是同解的成立同余方程等价于不定方程成立当是奇素数时若有解则成立当不是奇素数时若则方程定有解不成立三计算题，求分解求分解求以及使得，分解，由等式起逐步回代得求整数使得，分解，由等式起逐步回代得，分解为质因数乘积分求最大的正整数使分求分求方程的整数解分求方程的正整数数解。

分求方程的整数解分求方程的整数解分求不定方程的整数解分求不定方程的所有正整数解分将写成三个分数之和它们的分母分别是和分求方程的整数解分求方程的整数解分求方程的正整数解分求的个位