的步骤确定分类讨论的对象即对哪个变量或参数进行分类讨论对所讨论的对象进行合理的分类逐类讨论即对各类问题详细讨论,逐步解决归纳总结讨论完成后定要将各类情况总结归纳转化与化归的基本类型正与反般与特殊的转化,即正难则反特殊化原则常量与变量的转化,即在处理多元问题时,选取其中的常量或参数当“主元”,其他的变量看作常量数与形的转化,即利用对数量关系的讨论来研究图形性质,也可利用图形直观提供思路,直接地反映函数或方程中的变量之间的关系数学各分支之间的转化,如利用向量方法解立体几何问题,用解析几何方法处理平面几何代数三角问题等相等与不等之间的转化实际问题与数学模型的转化常用的转化方法有直接转化法把原问题直接转化为基本定理基本公式或基本图形问题换元法运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数方程不等式问题转化为易于解决的基本问题数形结合法研究原问题中数量关系解析式与几何图形关系,通过互相变换获得转化途径参数法引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化构造法“构造”个合适的数学模型,把问题变为易于解决的𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥当,时,故在,上单调递减又𝑥,故考点考点转化与化归的思想例本小题满分分云南昆明第次调研,已知函数若是的极值点,讨论的单调性当时,证明,是的极值点此时𝑥,分当,时,在区间,内单调递增当,时,在,内单调递减分考点考点证明当时,分只需证,在区间,内单调递增当,时𝑥综上,当时分考点考点考点考点定义行列式运算𝑎𝑎𝑏𝑏,若将函数𝑥𝑥的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则的最小值为解析依题意由𝑥𝑡𝑥𝑡是奇函数得,即𝑘,又,因此的最小值是,应选答案函数𝑚𝑥的定义域为切实数,则实数的取值范围是,,解析当时定义域为,满足条件当时,若解得综上,答案若中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切,则双曲线的离心率是或或或或解析由题意可知,当双曲线的焦点在轴上时,渐近线的方程为𝑏𝑎,由已知可得𝑏𝑎𝑏,易得双曲线的离心率当双曲线的焦点在轴上时,渐近线的方程为𝑎𝑏,由已知可得𝑎𝑎𝑏,易得双曲线的离心率故选答案在区间,和,上分别取个数,记为则方程𝑥𝑎𝑦𝑏表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为解析方程𝑥𝑎𝑦𝑏表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆𝑏𝑎𝑏𝑏又画出满足不等式组的平面区域,如图中阴影部分所示,求得阴影部分的面积为,故所求的概率𝑆阴影答案第二讲分类讨论思想转化与化归思想分类讨论的常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种由数学概念引发的分类讨论有的概念本身是分类的,如绝对值直线斜率指数函数对数函数等由性质定理公式的限制引起的分类讨论有的数学定理公式性质是分类给出的,在不同的条件下结论不致,如等比数列的前项和公式函数的单调性等由数学运算要求引起的分类讨论如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以个正数负数,三角函数的定义域等由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型位置需要分类如角的终边所在的象限点线面的位置关系等由参数的变化引起的分类讨论些含有参数的问题,如含参数的方程不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法由实际意义引起的讨论此类问题在应用题中,特别是在解决排列组合中的计数问题时常用分类讨论的原则不重不漏标准要统,层次要分明能不讨论的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论分类讨论解题的步骤确定分类讨论的对象即对哪个变量或参数进行分类讨论对所讨论的对象进行合理的分类逐类讨论即对各类问题详细讨论,逐步解决归纳总结讨论完成后定要将各类情况总结归纳转化与化归的基本类型正与反般与特殊的转化,即正难则反特殊化原则常量与变量的转化,即在处理多元问题时,选取其中的常量或参数当“主元”,其他的变量看作常量数与形的转化,即利用对数量关系的讨论来研究图形性质,也可利用图形直观提供思路,直接地反映函数或方程中的变量之间的关系数学各分支之间的转化,如利用向量方法解立体几何问题,用解析几何方法处理平面几何代数三角问题等相等与不等之间的转化实际问题与数学模型的转化常用的转化方法有直接转化法把原问题直接转化为基本定理基本公式或基本图形问题换元法运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数方程不等式问题转化为易于解决的基本问题数形结合法研究原问题中数量关系解析式与几何图形关系,通过互相变换获得转化途径参数法引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化构造法“构造”个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题特殊化方法把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题般化方法若原问题是个般化形式问题的特殊形式且又较难解决,可将问题通过般化的途径进行转化等价问题法把原问题转化为个易于解决的等价命题,达到转化目的加强命题法在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即把命题的结论加强为原命题的充分条件,反而能将原命题转化为个较易证明的