轴上或在方向上的正射影，简称射影用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点直线平面，把立体几何问题转化为向量问题通过向量运算，研究点直线平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。化为向量问题进行向量运算回到图形问题空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或其中，可将两点距离问题转化为求向量模长问题点到直线的距离设直线的方向向量为,,点与直线的距离为,则设为平面外点,为内任意点,为平面的法向量,则点到平面的距离为点到平面的距离,是异面直线分别是直线,上的点,是,公垂线的方向向量,则,间距离为异面直线间的距离平面与平面的距离问题平行平面,的法向量为，则，分别是平面与上任意点，平面与的距离为,则，与都是边长为的正三角形，平面⊥平面，⊥平面，求点到平面的距离解取的中点，连结则⊥，⊥，又平面⊥平面，则⊥平面以为坐标原点，分别以直线为轴轴轴，建立空间直角坐标系例分析与都是边长为的正三角形则设平面的法向量为，则由⊥，⊥，得，即令，则平面的个法向量为又，则所求距离用向量法求点面距的方法与步骤建坐标系结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系求向量在坐标系中求出点到平面内任点对应的向量求法向量设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量得答案代入公式求得答案如图，在正方体中，棱长为，为的中点，求到面的距离建立坐标系设,解,为面的法向量,由,,到面的距离为得,已知直三棱柱的侧棱,底面中,为的中点,求与的距离如图建立坐标系,则,解,所以设,的公垂线的方向向量为则即取,则所以因为所以与的距离二利用向量求距离点到平面的距离连接该点与平面上任意点的向量在平面定向法向量上的射影如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值点到直线的距离求出垂线段的向量的模直线到平面的距离可以转化为点到平面的距离用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。面面距离回归图形点面距离向量的模平行与平面间的距离转化为直线到平面的距离点到平面的距离异面直线间的距离转化为直线到平面的距离点到平面的距离也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模立体几何中的向量法第三章空间向量与立体几何空间向量与空间距离本节课主要学习利用空间向量求空间距离从复习个向量在另个向量上的射影入手，进行新课导入以学生自主探究为主，探索用空间向量解决立体几何问题的三步曲接着探讨点点距离点线距离点面距离线线距离线面距离及面面距离的求法例探索两点之间距离的求法例是求物体的受力大小问题，而实质还是求两点间的距离问题例是求点面距离，需要建立恰当的坐标系，利用向量法解决运用转化思想，将面面距离转化为点面距离点面距离转化为点点距离，运用运动变化思想探究如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作⊥如果⊥，那么向量叫做平面的法向量已知向量和轴，是上与同方向的单位向量作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在方向上的正射影，简称射影已知向量和轴，是上与同方向的单位向量作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在方向上的正射影，简称射影用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点直线平面，把立体几何问题转化为向量问题通过向量运算，研究点直线平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。化为向量问题进行向量运算回到图形问题空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或其中，可将两点距离问题转化为求向量模长问题点到直线的距离设直线的方向向量为,,点与直线的距离为,则设为平面外点,为内任意点,为平面的法向量,则点到平面的距离为点到平面的距离,是异面直线分别是直线,上的点,是,公垂线的方向向量,则,间距离为异面直线间的距离平面与平面的距离问题平行平面,的法向量为，则，分别是平面与上任意点，平面与的距离为,则,例如图个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系图解如图，设，化为向量问题依据向量的加法法则，