1、“.....由于学生与教师在认知结构认识方式以及对概念的同化能力上存在着很大的差异的，教师的教学设计立意再高，过程设计得再生动形象，而如果学生最终无法得到内化，那么教学还是大打折扣的。因此教师在开展教学设计时，必须要进行换位思考，要站在学生的立场，根据的学生的认知基础认知心理以及认知障碍来设计教学环节。了解学生的学习心理由于年龄特征，高中学生在学习新知识的过程中往往会伴随着些叛逆心理与求异心理类似于好斗心理与标新心理，他们会在课堂上提出些在教师预设之外的问题，甚至与教师对着干。学生的这些学习心理对教师开展课堂教学来讲是把双刃剑，把握不好，会使课堂推进失控，迷失在学生无休止的题外争论把握得当，则会激发学生的学习热情与探求新知欲望......”。

2、“.....学生可能会提出为什么要学数学归纳法尤其是在数学归纳法证明要求已有所降低的情况下，能用数学归纳法解决的证明问题也往往可以用演绎推理法证明明明不是归纳法，干吗还要叫数学归纳法假设的东西那能可信对于课堂中两位教师都提及的由递推公式求通项问题已知数列的第项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明已知数列，写出数列的通项公式学生偏不用数学归纳法而用倒数构造等差数列和累乘法来做，等等。教师在教学设计时，如若考虑不周或者不考虑到学生可能会出现的这些学习心理，将会使教师在课堂上处于尴尬的境地如果教师回答了学生的问题，将干扰学生对数学归纳法思想的体验，导致教学目标得不到实现，甚至大大降低了数学归纳法的信度上述涉及的问题。如果置之不理，则会挫伤学生的学习积极性。但是有些问题则是教师不可回避的......”。

3、“.....如果处理得当，将会使数学归纳法思想真正植根于学生的内心。因此从学生学习心理角度对概念进行深度剖析，做好预案机制，是教学预设达成的重要保障。了解学生的认知结构学生在学习数学归纳法之前，有关正整数命题的问题主要在数列的学习中接触，由于间隔时间过长，数列的判断，或者学生的课堂活动完全在教师的预设中。这很容易给我们产生些错觉，以为学生对所学内容已经掌握了，对概念中蕴涵的思想方法已有所体会了。其实这种对话活动往往集中在部分头脑灵活反应较快的学生对教师预设的问题的种顺应，他们的思维并非定触及概念的思想内涵，还有部分学生则是充当听众的角色。产生这种情况的原因主要在于教师在预设设时，是凭自己对对概念的理解角度，没有站在学生的角度开展问题诊断分析，或者已经考虑到学生的理解困难，但是被假象所蒙蔽......”。

4、“.....或者高估学生深层推进的自觉意识，没能将思维提升到个高度让学生去体验。数学归纳法是高中阶段个比较抽象的数学概念，学生对其中的证明步骤的掌握不会有困难，但是要理解概念以及概念背后的思想方法不是件容易的事，尤其是对步骤中的假设感到不解，对两个步骤之后，结论就成立了感到困惑，对正整数与的关系琢磨不透，教学中教师决不能对这些问题匆忙了事。教学中两位教师在完成数学归纳法证明后，都没有留给学生充分的时间感悟，教师乙在完成数学归纳法证明后急于归纳证明步骤，说明两个步骤的重要性教师甲虽然在数学归纳法证明的过程中多次提到步骤的传递性，似乎要让学生体会递推思想，但是学生在听觉干扰教师过多的语言和视觉干扰投影仪黑板等下，往往只对数学归纳法的证明过程形成顺应，无暇体会其中的数学思想。事实上，受学生思维局限性的限制......”。

5、“.....学生是不可能对其中的数学思想自觉地进行反思，这就需要教师进行问题引领，比如在完成证明后教师可设计如下问题启发学生完成两个步骤后，能将有限个证明走向无限吗为什么如何体会假设时命题成立你是如何理解与的关系的，正整数起到怎样的作用给学生个悟空间，让学生自主观察分析，抽象概括，自觉获取这方法的本质和思想内涵，波利亚曾指出学习最好的途径是自己去发现,理解数学归纳法本质，选择恰当的教学方式同为数学归纳法的起始课，两为教师对数学思想方法的教学有着不同的理解。教师甲采取的教学基本流程教师乙采取的教学基本流程从选择的教学方法可以看出，两为教师对本节课中如何渗透的递推思想方法有不同的理解，从教师甲选择的教学方式中不难看出教师有着这样种教学理解数学归纳法本身就是种数学思想方法......”。

6、“.....从理解思想方法的高度探寻数学归纳法这有关正整数命题的推理方法。教师乙的教学理解可能是这样先让学生掌握数学归纳法这种推理方法形式化的步骤，通过辨析明确完整的数学归纳法过程，然后在后续的不等式证明中逐步体会归纳递推思想。两种教学方法选择，代表了广大教师对数学归纳法教学的两种认识。笔者认为，数学归纳法的本质内涵揭示了这种方法背后有着丰富的数学思想，数学归纳法提供的观察归纳猜想证明的思维模式决定了它本身就是种数学思想方法。将数学归纳法仅仅看作种推理方法，由于它的步骤的固定的形式化的，容易使课堂教学变成接受的静态的学习环境而抓住这种思维模式的逻辑结构，从思想方法的角度去认识探索数学归纳法，才能将数学归纳法这高度抽象的数学学术形态有效地转变为具有亲和力的教育形态，才能使教学变为动态的生成......”。

7、“.....是种概念内化的学习方式，这对改善学生的认知方式有极大的好处。理解数学，理解学生，理解教学是开展概念教学研究的基础，教学设计中，以系统的观点整合这三个维度，将会使教学预设有效地转化为自然和谐的课堂生成。数学归纳法教学反思在听课前，认真拜读了章建跃老师的文章追求数学课堂的本来面目，通过两位教师的课堂实践，笔者对章老师谈到的教学立意问题中始终要把数学教学的育人目标放在心上观点很受启发，对理解数学理解学生理解教学有进步的实践认识，同时对数学归纳法这节内容的教学也有了更深刻的理解。对数学归纳法的理解数学归纳法的本质特征数学归纳法是种用于与正整数有关的数学命题的证明方法，由的无穷尽特性，成为数学归纳法这方法探寻的源动力。正整数命题的数学归纳法证明步骤中只证明了两个命题命题为真命题若为真，则为真......”。

8、“.....即由命题正确推得命题也正确，由命题正确推得命题也正确，„„，实现无穷三段论的循环论证。因此，用有限的步骤论证无限结论是数学归纳法的个本质特征。数学归纳法的核心思想学生对于归纳假设常常会感到疑惑不解要证明个命题正确，怎么可假以设这个命题正确呢命题与命题有何关系假设命题正确在证明过程中起什么作用理解这些问题，也就理解了数学归纳法的思想内涵数学归纳法要证明的命题是个命题序列，其中与是该命题序列中的两个连续命题。为了证明这个命题序列整体的正确性，我们首先得证明为真是归纳奠基在归纳递推过程中是个变动的量，假设命题为真是递推证明的条件，由为真推出为真，表明前个命题为真必可推出它的后继命题也为真。由于有了第步的奠基验证，归纳假设是有依据的，因此我们所要证的命题序列中......”。

9、“.....根据归纳公理证明了，„„中命题都是正确，即对任意正整数，命题都成立。可以说，归纳假设是递推的接力棒，没有归纳假设，递推就无法进行。通过上述问题的解决过程不难发现，数学归纳法的核心思想是归纳递推思想。数学归纳法的育人价值数学归纳法虽不是归纳法是种严格的演绎推理证明方法，但是在数学归纳法的思维模式中还是能找到归纳法的些影子的事先通过大量个别事实的观察，通过归纳概括出般性的结论，然后利用数学归纳法的证明解决问题，即归纳结论推理证明两个逻辑段。其完整过程如图所示。因此数学归纳法为我们提供了种数学的思维方法观察归纳猜想证明，这种思维模式的教学是培养学生理性思维的有效载体，它本身就是种素质教育。作为概念起始课，在教学中应强调它的思维作用，学会用数学归纳法的思维方式去思考问题......”。