第二章 群表示理论 1至4节-精品PPT课件

例群在以为基矢的二维函数空间中的矩阵表示。

，先考虑个物理问题个幺正性的证明群的切等价表示都有个等价的幺正表示。

研究群表示时，只需研究其幺正表示形式。

可见，对于任，定存在非奇异矩阵，通过相似变换使般的群表示变成幺正表示。

有无穷多种表示的等价表示。

的表示，是也是。

有维矩阵对任个非奇异，维矩阵表示如果有种从维到无穷维空间无穷多种单位表示，定理如果和是群的两个等价的幺正表示，则有幺正矩阵，使得。

证明由和等价可知，存在个非奇异矩阵，使得任元素，有并有任意，，厄米矩阵且设对厄米阵，总有幺正矩阵使其对角化，且对角阵式代入为非奇异实对角阵。

是奇异阵。

的项对应，而等于显然是厄米阵显然的任对角元对角矩阵成立，就有，显然有是对角的，必有定义定义下面证明是幺正矩阵，是幺正的证毕。

对有限群，只需研究幺正表示及其幺正变换。

若群有两个幺正表示和，则∀，有表示矩阵和，它们的直和维是准对角阵块状对角矩阵。

的种矩阵表示构成可证显然，这种群表示都是准对角矩阵。

第二章群表示理论第节群表示的定义设和都是线性空间，是个变换规则。

如果中任向量在之下对应着中唯的向量，则称为到的算符，记作，∊，∊通常情况下，是自身，此时称为上的算符。

∀，∊，∀，∊数域，若有则称为线性算符。

线性空间上，满足群定义的线性算符集合构成线性算符群。

个线性空间上有个线性算符群与群，同态，则集合称为群的个在该线性空间上的表示。

称为表示空间，的维数为表示的维数。

基矢，个算符定与个矩阵对应矩阵群，选取不同基矢组，对应不同矩阵群，，群表示的另种定义设是群，是个维方阵集合，如果与同态，则称是的个维表示。

与群元对应的矩阵称为群元的表示矩阵。

如果与同构，则称为的真实表示。

若同态，则称非真实表示。

单位表示单位算符，对应于单位矩阵任维空间上，至少有个单位算符是的单位表示，也称恒等表示，或平庸表示。

维，维如何确定群的表示非单位表示例群在三维实空间中直角坐标系下的表示。

基矢群元↔算符，则是的个表示ˆˆˆˆ，ˆ，ˆ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ，，也可写成取决于还是可按上述思路计算，也可如下计算ˆˆˆˆˆˆ同理，习题确定群在类似情况下的表示。

例群在以为基矢的二维函数空间中的矩阵表示。

，先考虑个物理问题个物体有温度分布。

，是个旋转操作。

旋转操作后，点温度值在点的值，，证明，