所以所给个式子的运算结果都是答案空间向量的数乘运算是线性运算的种,其实质是空间向量的加减运算,即相同向量的和或差的运算空间向量的数乘运算的结果仍然是个向量,方向取决于的正负,模为原向量模的倍用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算解题时要结合具体图形,利用三角形法则平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量典型例题如图所示,在长方体中𝐴𝐷,分别是,的中点,求证𝐸𝐹𝐺𝐻𝑃𝑄证明在长方体中分别是,的中点𝐴𝐷,𝐴𝐸𝐹𝑃𝑄𝐸𝐹𝐺𝐻𝑃𝑄先用分别表示各向量,再进行向量的代数运算,用空间向量的方法处理立体几何问题,使复杂的问题代数化正确运用向量的运算律,在向量的运算中要注意向量的方向对向量算式的化简或证明,要结合图形,充分利用图形的性质共线向量定理是证明两条直线平行的常用方法,但是要注意,向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括共线的情形,如果应用共线向量定理判断,所在的直线平行,还需说明或上有点不在或上共线向量定理也是证明三点共线的常用方法,在利用该定理证明或判断不同的三点共线时,只需证明存在实数,使𝐴𝐵𝐵𝐶或𝐴𝐵𝐴𝐶即可判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数,使成立,或充分利用空间向量的运算法则,结合具体的图形,通过化简计算得出,从而得出,即与共线典型例题如图所示都是平行四边形,且不共面分别是,的中点判断𝐶𝐸与𝑀𝑁是否共线分析要判断𝐶𝐸与𝑀𝑁是否共线,由共线向量定理可判断是否存在实数使𝐶𝐸𝑀𝑁若存在,则𝐶𝐸与𝑀𝑁共线否则𝐶𝐸与𝑀𝑁不共线解,分别是,的中点,而四边形,都是平行四边形,𝑀𝑁𝑀𝐴𝐴𝐹𝐹𝑁𝐶𝐴𝐴𝐹𝐹𝐵又𝑀𝑁𝑀𝐶𝐶𝐸𝐸𝐵𝐵𝑁𝐶𝐴𝐶𝐸−𝐴𝐹−𝐹𝐵,𝐶𝐴𝐴𝐹𝐹𝐵𝐶𝐴𝐶𝐸−𝐴𝐹−𝐹𝐵𝐶𝐸𝐶𝐴𝐴𝐹𝐹𝐵𝑀𝐴𝐴𝐹𝐹𝑁𝑀𝑁,即𝐶𝐸𝑀𝑁𝐶𝐸𝑀𝑁,即𝐶𝐸与𝑀𝑁共线反思判定两向量共线就是找实数使要充分运用空间向量的运算法则并结合空间图形,化简得出,从而得出零向量与任何向量的数量积为数量积是数量数值,可以为正,可以为负,也可以为零的几何意义与的数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积,或的长度与在的方向上的投影的乘积典型例题如图,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于,点分别是的中点求下列向量的数量积𝐴𝐵𝐴𝐷𝐺𝐹𝐸𝐹𝐵𝐶思路分析由于空间四边形的每条边和对角线长都等于,所以将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式𝑎𝑎求解即可特别注意要准确求解已知两向量之间的夹角大小典型例题如图,在平行四边形中,将沿对角线折起,使与成角,求,间的距离思路分析画出立体图,结合已知知识用长度与夹角均已知的向量表示出𝐵𝐷𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶𝐷,而𝐵𝐴与𝐴𝐶,𝐴𝐶与𝐶𝐷,𝐴𝐵与𝐶𝐷的夹角及其模均易知解如图,𝐶𝐷同理𝐴𝐶与成角或𝐵𝐷𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶𝐷,当时当时𝐵𝐷或,即,间的距离为或反思空间向量求模的运算要注意公式的准确应用向量的模就是表示向量的有向线段的长度,因此求线段长度的问题可用向量求解任意两个空间向量均是共面的,故空间向量的夹角取值范围同两个平面向量的夹角的取值范围样,即,两个空间向量的夹角在,上,但两条直线的夹角在,内,利用向量求直线夹角时注意转化,两条直线的夹角的余弦值定为非负数利用数量积求直线夹角或余弦值的方法典型例题如图所示,在空间四边形中,,,求直线与夹角的余弦值解因为𝐵𝐶𝐴𝐶−𝐴𝐵,所以𝑂𝐴𝐴𝐶−𝑂𝐴所以𝑂𝐴所以直线与夹角的余弦值为易错点利用数量积求两点间的距离典型例题如图所示,在平面角为的二面角中⫋,且⊥,⊥,垂足分别为,已知,求线段的长错解⊥,⊥𝐴𝐵𝐴𝐵二面角的平面角为,错因分析错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念向量𝐶𝐴,𝐵𝐷的夹角与二面角的平面角互补,而不是相等正解⊥,⊥𝐴𝐵𝐴𝐵二面角的平面角为给出下列命题有公共点的两个向量定共线零向量没有方向若为平行六面体,则𝐴𝐵𝐷𝐶若为长方体,则𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴𝐴𝐷其中真命题的个数为解析易知是假命题为真命题中,故为假命题所以选答案已知空间四边形,连接若是的中点,则等于解析答案在平行六面体中,,则等于解析,故答案如图,在四面体中,各棱长均为分别是和的中点,则异面直线与所成的角等于解析−与所成的角为𝜋答案𝜋在空间四边形中,求证⊥证明≌,−−,⊥,即⊥空间向量的运算课程目标学习脉络会用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们的运算律会利用空间两个向量共线的充要条件解决有关问题能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积空间向量的加减法空间向量的加法减法运算满足平行四边形法则和三角形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律思考空间向量的加法与减法如何进行运算提示空间中两个向量的加减可以直接用三角形法则或平行四边形法则解决而多个向量的加减运算,通常可以利用三角形法则进行推广在解决立体几何问题时,其中的个向量经常多次使用三角形法则的方法用其他向量来表示,首尾顺次相接的向量如果能围成封闭的图形,那么和向量为零向量二空间向量的数乘思考共线向量定理的用途是什么提示可以利用共线向量定理来判定两条直线平行证明三点共线证明两条直线平行时,先从两条直线上取两条有向线段表示两个向量,然后利用向量的线性运算证明向量共线,进而可以得到线线平行,这是证明平行问题的种重要方法证明三点共线问题,通常不用图形,直接利用向量的线性运算即可,但定要注意所表示的向量必须有个公共点三空间向量的数量积对于三个不为的向量,若,不能得出,即向量不能约分若,不能得出𝑘𝑏或𝑘𝑎,即向量不能进行除法运算对于三个不为的向量,即向量的数量积不满足结合律在空间两个向量的数量积中,特别地所以向量的模𝑎这个公式可用来求空间中线段的长度将其推广为𝑎利用两个向量的夹角为,判断空间两条直线垂直是向量在立体几何中的重要应用之根据空间两个向量的数量积的定义,那么空间两个向量,的夹角的余弦𝑎𝑏𝑎𝑏,这个公式可用来求空间两条直线所成的角空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质画异面直线的夹角与画向量的夹角不样两个向量的夹角是将表示两个向量的有向线段的起点重合而形成的角,其范围是而异面直线所成的角的范围是,思考如何利用空间向量求异面直线所成的角提示求异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方向向量的夹角但在求异面直线所成的角时,应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别如果两个向量的夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等于两个向量的夹角如果两个向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角为两个向量的夹角的补角空间向量的加减运算方法向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则,同平面向量相同,封闭图形首尾连接的向量的和为化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇到减法时既可转化成加法,也可按减法法则进行运算,加减法之间可以相互转化表达式中各向量的系数相等时,根据数乘分配律,可以把相同的系数提到括号外面利用向量加减法运算解决立体几何中的问题的般思路典型例题如图所示,在正方体中,下列各式中运算的结果为向量的有个个个个解析根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐进行判断所以所给个式子的运算结果都是答案空间向量的数乘运算是线性运算的种,其实质是空间向量的加减运算,即相同向量的和或差的运算空间向量的数乘运算的结果仍然是个向量,方向取决于的正负,模为原向量模的倍用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算解题时要结合具体图形,利用三角形法则平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量典型例题如图所示,在长方体中𝐴𝐷,分别是,的中点,求证𝐸𝐹𝐺𝐻𝑃𝑄证明在长方体中分别是,的中点𝐴𝐷,𝐴𝐸𝐹𝑃𝑄𝐸𝐹𝐺𝐻𝑃𝑄先用分别表示各向量,再进行向量的代数运算,用空间向量的方法处理立体几何问题,使复杂的问题代数化正确运用向量的运算律,在向量的运算中要注意向量的方向对向量算式