根据线面平行的判定定理根据共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可面面平行根据面面平行的判定定理若能求出平面,的法向量则要证明,只需证明即可典型例题在长方体中,分别是,的中点证明思路分析证明线线平行可以转化为证明它们的方向向量平行证法以为原点,所在直线分别为轴轴轴,建立如图所示的空间直角坐标系则,𝑃𝑄𝑃𝑄𝑅𝑆𝑃𝑄𝑅𝑆,即证法二𝑅𝑆𝑅𝐵𝐵𝐶𝐶𝑆𝐷𝐶−𝐷𝐴𝐷𝐷,𝑃𝑄𝑃𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶−𝐷𝐴,𝑅𝑆𝑃𝑄𝑅𝑆𝑃𝑄,即典型例题已知正方体的棱长为分别为,的中点,求证平面平面平面思路分析画出示意图后用常规的方法也能将问题得以解决,但不如用向量法处理直接简单,因此本题可以通过建立空间直角坐标系,借助法向量来处理证明如图所示,建立空间直角坐标系,则有𝐹𝐶𝐴𝐸设,分别是平面和平面的法向量,则⊥𝐷𝐴,⊥𝐴𝐸,𝑥取,则同理可求,⊥𝐹𝐶又⊈平面,平面,平面平面运用空间向量解答立体几何问题应注意处理和把握好以下两大关系是向量法和纯几何法在解题中相互融合渗透的关系大多数立体几何解答题,既可以用向量法求解,也可以用几何法求解二是用向量法解题时,是选用基底向量不建立空间直角坐标系,还是通过建立空间直角坐标系,选用坐标向量的关系,根据题目含义而定对于出现垂直关系的特殊几何体,如正方体长方体直棱柱有条侧棱垂直于底面的棱锥等,往往通过建立空间直角坐标系解答较为方便典型例题如图,在正方体中分别是正方体六个面的中心求证平面平面思路分析用向量证明面面平行有两个途径利用面面平行的判定定理,即证明个平面内的两个不共线的向量都平行另个平面证明两个平面的法向量平行证法以点为坐标原点,分别以所在的直线为轴轴轴建立空间直角坐标系,如图不妨设正方体的棱长为,则,𝐸𝐹𝐻𝑀𝐸𝐹𝐻𝑀,𝐹𝐺𝑁𝐻,,⫋平面,⫋平面,平面,平面⫋平面,⫋平面,∩,平面平面证法二建立空间直角坐标系如证法,设平面的法向量为则𝐹𝐺,故𝑃𝐴𝐹𝐺,而⊥平面,⊥平面又⫋平面,平面⊥平面方法二同方法,建立空间直角坐标系,则𝐸𝐹,设平面的法向量是,则有⊥𝐸𝐹,⊥𝐸𝐺𝑦𝑧令,得即而显然𝑃𝐴是平面的个法向量,这样𝑃𝐴,⊥𝑃𝐴,即平面的法向量与平面的法向量互相垂直,平面⊥平面𝐸𝐺𝐵𝐶𝑃𝐺𝐵𝐶,⊥,⊥,是与的公垂线用空间向量法证明立体几何中的垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的些关于垂直的定理比种类型的题主要考查数形结合的思想,以及转化与化归的思想若直线的方向向量为,平面的法向量为,直线不在平面内,则能使的是解析欲使,则需⊥,即,故选答案如图,在直三棱柱中,点是的中点求证⊥平面证明直三棱柱的底面的三边长,两两垂直如图,以为坐标原点,直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系,则𝐵𝐶,𝐴𝐶⊥𝐵𝐶,⊥如图,设与的交点为,连接,则𝐷𝐸𝐴𝐶,⫋平面,⊈平面,平面正方体的边长为分别是棱,的中点求证平面平面证明如图,建立空间直角坐标系,则取的中点及的中点,的中点,连接则所以𝑀𝑁𝐴𝐺可得𝑀𝑁𝐸𝐹,𝐴𝐺𝑄𝐾所以,又,⊈平面⫋平面,所以平面,平面又∩,所以平面平面如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱⊥底面是的中点,作⊥于点求证平面⊥平面证明如图所示,建立空间直角坐标系,是坐标原点,设连接,交于点,连接依题意,得𝑎底面是正方形,是正方形的中心故点的坐标为𝑎,且𝑃𝐴,𝑎𝑃𝐴𝐸𝐺而⫋平面,且⊈平面,平面依题意,得,𝑃𝐵又𝐷𝐸𝑎,故𝑃𝐵𝐷𝐸𝑎−𝑎⊥又⊥,且∩,⊥平面如图,底面是正方形,⊥底面,且,是的中点,求证平面⊥平面证明设,建立如图所示的空间直角坐标系,则方法连接,设与相交于点,连接,则点的坐标为𝐴𝑆𝑂𝐸𝐴𝑆,即又⊥底面,⊥平面又⫋底面,平面⊥平面方法二设平面的法向量为𝐵𝐷,𝑛⊥,𝑛⊥⇒𝑛令,可得平面的个法向量为⊥底面,平面的个法向量为𝐴𝑆,平面⊥平面用向量讨论垂直与平行课程目标学习脉络能用向量语言表述线线线面面面的平行垂直关系能用向量方法证明有关线面位置关系的些定理能用向量方法解决立体几何中的平行垂直问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用,并培养学生的运算能力空间中的垂直关系线面垂直判定定理若条直线垂直于个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直面面垂直判定定理若个平面经过另个平面的条垂线,则这两个平面垂直三垂线定理若平面内的条直线垂直于平面外的条直线在该平面内的投影,则这两条直线垂直三垂线定理的逆定理如果平面内的条直线垂直于平面外的条直线,那么垂直于直线在平面上的投影思考如何利用向量知识判断直线平面的垂直提示垂直关系包括直线与直线的垂直,常用两条直线的方向向量的数量积为来判断直线与平面的垂直,常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断平面与平面垂直,常用法向量互相垂直来判断用向量知识来探讨空间的垂直问题,主要研究向量的共线或垂直,以便用向量的基本运算进行求解当几何体比较特殊时,构建空间直角坐标系解题较为简单二空间中的平行关系线线平行判定定理如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行线面平行判定定理若平面外的条直线与平面内的条直线平行,那么这条直线和这个平面平行面面平行判定定理若个平面内有两条相交直线都平行于另个平面,则这两个平面平行思考如何利用向量知识判断直线平面的平行提示平行关系包括线线平行线面平行和面面平行用向量知识判断时,主要是研究直线的方向向量平面的法向量之间的关系通常情况下,构建空间直角坐标系,用坐标运算进行求解两条直线不重合的方向向量共线时,两条直线平行条直线与个平面的法向量垂直时,若直线不在平面内,则直线与平面平行两个平面不重合的法向量共线时,两个平面平行通常,用向量共线的充要条件或向量数量积的计算公式求解要求出个平面的法向量的坐标,般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,般步骤如下设出平面的法向量为找出求出平面内的两个不共线的向量的坐标,根据法向量的定义建立关于的方程组𝑛𝑎𝑏解方程组,取其中的个解,即得法向量由于个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取个最简单的作为平面的法向量确定平面的法向量通常有两种方法几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直几何体中没有具体的直线,此时可以采用待定系数法求解平面的法向量典型例题已知平面经过三点,试求平面的个法向量思路分析可采用待定系数法,设出法向量,根据它和内不共线两个向量的垂直关系建立方程组进行求解解设平面的法向量是,依题意,应有𝐴𝐵,且𝐴𝐶,即𝑥𝑦𝑧解得,且令,则故是平面的个法向量用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线的向量,然后列出方程组,方程组有无数组解,取其中的组解即可,但要注意在取方程组的组解时,不能都取零,否则得到零向量,而零向量的方向不能确定,不能作为法向量线线平行设直线,的方向向量分别是若要证,只需证,即线面平行设直线的方向向量是,平面的法向量是,若要证,只需证⊥,即根据线面平行的判定定理根据共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可面面平行根据面面平行的判定定理若能求出平面,的法向量则要证明,只需证明即可典型例题在长方体中,分别是,的中点证明思路分析证明线线平行可以转化为证明它们的方向向量平行证法以为原点,所在直线分别为轴轴轴,建立如图所示的空间直角坐标系则,𝑃𝑄𝑃𝑄𝑅𝑆𝑃𝑄𝑅𝑆,即证法二𝑅𝑆𝑅𝐵𝐵𝐶𝐶𝑆𝐷𝐶−𝐷𝐴𝐷𝐷,𝑃𝑄𝑃𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶−𝐷𝐴,𝑅𝑆𝑃𝑄𝑅𝑆𝑃𝑄,即典型例题已知正方体的棱长为分别为,的中点,求证平面平面平面思路分析