和向量法两种方法求解用向量法求平面间的夹角的大小时,应结合夹角的取值范围来判断求出的是平面间的夹角,还是它的补角解法证明如图,连接,则四边形为正方形,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以又因为⊈平面,⫋平面,所以平面以为原点,所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,则,所以𝐷𝐴,设为平面的法向量,由⊥,⊥𝐷𝐵,得𝑥𝑧,𝑥𝑦则𝑥𝑦,𝑥𝑧取,则又𝐷𝐶设为平面的法向量,由⊥𝐷𝐶,⊥𝐷𝐵,得𝑦𝑧,𝑥𝑦取,则设与的夹角为,平面与平面的夹角为,因为𝑚,所以,即平面与平面的夹角的余弦值为解法二以为原点,所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系如解法中的图,设,由题意知,证明𝐷𝐷𝐵,又因为,所以𝐷𝐷𝐵−𝐷𝐴𝐴因为⫋平面,⊈平面,所以平面取的中点,的中点,连接,由及题意,知𝑎所以𝐹𝐴𝑎𝑎,因为𝐹𝐴𝐷𝐵𝑎,所以⊥,⊥,故为所求二面角的平面角设平面与平面的夹角为,则𝐹𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎故平面与平面的夹角的余弦值为专题二空间距离对于些比较基本的题目,由于表示距离的线段比较容易求出,因而常用直接法求点到直线的距离,当时当∉时,用距离公式求点到平面的距离,当时当∉时,用距离公式另外还有直接法和体积变换法应用在棱长为的正方体中,求点到直线的距离求点到平面的距离求直线到平面的距离解以为原点,分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系则𝐷𝐴𝐷𝐴在𝐷𝐵上的投影为𝐷𝐴点到直线的距离𝐷𝐴𝐷𝐴𝐷𝐵𝐷𝐵𝐷𝐷,设平面的法向量为,则有𝐷𝐷,即𝑧,𝑥𝑦令,则又𝐷𝐴,则点到平面证明𝐴𝑃𝐴𝑃𝐷𝐶⊥又由题设知⊥,且与是平面内的两条相交直线,由此得⊥平面又在平面上,故平面⊥平面𝐴𝐶故𝐴𝐶𝐴𝐶𝑃𝐵𝑃𝐵𝐴𝐶𝑃𝐵由此得与的夹角的余弦值是设平面的法向量为,即𝑥𝑦,𝑦令,则设平面的法向量为𝐶𝐵𝐶𝑀,即𝑥𝑦,𝑥𝑧令,则􀎮,􀎮𝑛平面与平面夹角的余弦值为转化与化归思想解题即是对命题的转化,解题中要注意立体几何问题向平面几何问题的转化,即立体问题平面化,在论证线线线面面面的平行与垂直关系时,要注意平行与垂直关系的转化求距离与角的关键是把空间中的距离与角转化为平面内的距离与角应用如图,已知长方体,直线与平面的夹角为,垂直于,为的中点求异面直线与的夹角的余弦值求平面与平面夹角的余弦值求点到平面的距离提示建立空间直角坐标系,利用坐标法求解解在长方体中,以所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系如图由已知可得又⊥平面,从而与平面的夹角为又,⊥,故从而易得𝐵𝐹𝐴𝐸𝐵𝐹,即异面直线,的夹角的余弦值为易知平面的个法向量,设是平面的法向量,由𝑛⊥,𝑛⊥⇒𝑛⇒𝑥𝑧,𝑥⇒𝑥𝑧,令,则即平面与平面夹角的余弦值为点到平面的距离𝑛𝑛,点到平面的距离为方程思想在立体几何中,根据题意适当引进未知数,根据题设本身的制约关系列出等式,由所设的未知数联系各量之间的关系,从而解决问题的思想方法称之为方程思想运用方程思想解题的关键是合理选择变量,构建相应的方程或方程组应用如图,矩形的边⊥平面现有数据当在边上存在点,使⊥时,可以取所给数据中的哪些值请说明理由在满足的条件下,取所给数据中的最大值时,求直线与平面夹角的正切值记满足的条件下的点为取所给数据中的最小值时,这样的点有几个试求平面与平面夹角的大小提示利用坐标法,借助函数与方程思想,本题不难求解解建立如图所示的空间直角坐标系,则设于是有𝑃𝑄,由⊥,得𝑃𝑄,即此方程有解,则,所以当时,方程的解为或,满足当时,方程的解为,满足因此,满足条件的的取值为或显然,满足的条件下,取所给数据中的最大值时,此时,由知为的中点过点作⊥,垂足为,连接,则即为与平面的夹角在中𝑃𝐴𝑀,所以即直线与平面的夹角的正切值为在满足的条件下,取所给数据中的最小值时,由知,此时或,所以满足条件的点有两个,因为⊥平面,所以⊥,⊥所以即为二面角的平面角因为𝐴𝑄所以𝐴𝑄设平面与平面的夹角为,则􀎮𝐴𝑄所以故平面与平面的夹角为本章整合从平面向量到空间向量空间向量的运算空间向量的加减法空间向量的数乘空间向量的数量积向量的坐标表示和空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量运算的坐标表示用向量讨论垂直与平行夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角距离的计算点到直线的距离点到平面的距离直线与平面的距离平面与平面的距离专题空间角异面直线间的夹角求异面直线间的夹角主要有定义法平移法和向量法两种定义法主要借助于构造出的平行四边形的对边和三角形的中位线向量法就是在两条异面直线上取方向向量,将两条异面直线的夹角与两个方向向量的夹角联系在起,但应注意两个方向向量的夹角,当时,就是所求,当时,才是所求,因为异面直线间的夹角的范围是,直线与平面的夹角求直线和平面的夹角也有传统法和向量法两种传统法的关键是找斜线在平面内的投影,从而找出线面角向量法则可建立空间直角坐标系,利用向量的运算求解平面间的夹角求平面间的夹角也有传统法和向量法两种传统法是找到二面角的平面角,然后解这个角所在的三角形或多边形,最后由二面角与平面间的夹角的关系求解向量法是建立空间直角坐标系,用两个平面的法向量研究两个平面的夹角,最后得出结论即可应用如图,在棱长为的正方体中,是侧棱上的点,试确定,使得直线与平面夹角的正切值为在线段上是否存在个定点,使得对任意的,在平面上的投影垂直于并证明你的结论提示本题主要考查线面关系,直线与平面夹角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力解法建立如图所示的空间直角坐标系,则因为𝐵𝐷𝐴𝑃所以𝐴𝐶𝐵𝐷𝐵𝐵,所以𝐴𝐶为平面的个法向量设与平面的夹角为,则𝐴𝑃𝑚依题意,有𝑚,解得故当时,直线与平面夹角的正切值为存在点满足题意,证明如下设,所以𝐷依题意,对任意的,在平面上的投影垂直于⇔⊥⇔𝐴𝑃𝐷⇔⇔,即为的中点时,满足题意要求解法二连接,设∩,与平面交于点,连接,如图所示因为平面,平面∩平面,所以又为的中点,所以𝑚又⊥,⊥,所以⊥平面故即为与平面的夹角在中,𝐴𝑂𝑂𝐺𝑚,即故当时,直线与平面夹角的正切值为存在点满足题意证明如下依题意,要在上找点,使得⊥,可推测的中点即为所求的点因为⊥,⊥,所以⊥平面又⫋平面,故⊥从而在平面上的投影与垂直故存在定点满足题意应用如图,在直四棱柱中,已知,⊥,设是的中点,求证平面求平面与平面夹角的余弦值提示本题可用常规法和向量法两种方法求解用向量法求平面间的夹角的大小时,应结合夹角的取值范围来判断求出的是平面间的夹角,还是它的补角解法证明如图,连接,则四边形为正方形,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以又因为⊈平面,⫋平面,所以平面以为原点,所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,则,所以𝐷𝐴,设为平面的法向量,由⊥,⊥𝐷𝐵,得𝑥𝑧,𝑥𝑦则𝑥𝑦,𝑥𝑧取,则又𝐷𝐶设为平面的法向量,由⊥𝐷𝐶,⊥𝐷𝐵,得𝑦𝑧,𝑥𝑦取,则设与的夹角为,平面与平面的夹角为,因为𝑚,所以,即平面与平面的夹角