的六个不同点双曲线椭圆图形两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实虚轴长短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率关系探究探究二探究三探究四由双曲线方程研究其几何性质已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤先将双曲线的方程化为标准形式𝑥𝑎−𝑦𝑏或𝑦𝑎𝑥𝑏,再根据,的值注意分母分别为而不是,求出,进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案画几何图形时,要先画双曲线的两条渐近线即以,为两邻边的矩形的对角线所在的直线和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形典型例题求双曲线的半实轴长半虚轴长焦点坐标顶点坐标离心率和渐近线方程,并作出草图思路分析将双曲线方程变为标准方程,确定后求解探究探究二探究三探究四解把方程化为标准方程𝑦−𝑥,由此可知,实半轴长,虚半轴长焦点坐标为顶点坐标为离心率为𝑐𝑎渐近线方程为作草图探究探究二探究三探究四利用几何性质求双曲线的标准方程双上时,其渐近线方程为𝑎𝑏,依题意得𝑎𝑏𝑎𝑏,即𝑐𝑎方法由𝑐𝑎𝑏𝑎得当𝑏𝑎时当𝑏𝑎时,答案或规律小结求双曲线的离心率的常用方法利用,求若可求得则直接利用𝑐𝑎得解利用,求若已知可直接利用𝑏𝑎得解利用方程求若得到的是关于,的齐次方程为常数,且,即,则转化为关于的方程求解探究探究二探究三探究四双曲线的渐近线问题根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的改成,就得到了此双曲线的渐近线方程与双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏有共同渐近线的双曲线方程可设为𝑥𝑎−𝑦𝑏若已知双曲线的渐近线方程𝑥𝑎𝑦𝑏或𝑏𝑎,则双曲线方程可设为𝑥𝑎−𝑦𝑏当时,焦点在轴上当时,焦点在轴上探究探究二探究三探究四典型例题已知,为双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏的左右焦点,过作垂直于轴的直线交双曲线于点,且,求该双曲线的渐近线方程思路分析求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率,也就是求,间的关系本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系,求,间的关系探究探究二探究三探究四解设,则𝑐𝑎−𝑦𝑏,解得𝑏𝑎,所以𝑏𝑎在中,,所以,即𝑏𝑎将代入式,解得或舍去,故𝑏𝑎,所以双曲线的渐近线方程为双曲线的实轴长为答案已知双曲线𝑥𝑎−𝑦的右焦点为则该双曲线的离心率等于解析由双曲线的右焦点为知,即,又因为,所以,即,所以故所求离心率𝑐𝑎答案若双曲线𝑥𝑎−𝑦的离心率为,则解析由𝑎𝑎,得,又因为,所以答案若双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏的条渐近线方程为𝑥,则此双曲线的离心率为解析渐近线方程为𝑥,所以𝑏𝑎又,从而𝑐𝑎,即答案中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点且,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为,离心率之比为∶求这两条曲线的方程解由已知,设椭圆长短半轴长分别为双曲线实半轴虚半轴长分别为则𝑎𝑚解得,所以,所以椭圆方程为𝑥𝑦,双曲线方程为𝑥−𝑦双曲线的几何性质课程目标学习脉络类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它的几何性质能够运用双曲线的性质解决些简单问题正确理解双曲线的特有性质渐近线双曲线的标准方程和几何性质标准方程−−图形性质范围或,,或对称性对称轴轴轴对称中心原点对称轴轴轴对称中心原点顶点顶点坐标,顶点坐标,渐近线𝑎𝑏离心率𝑐𝑎,,,其中𝑎𝑏实虚轴线段叫做双曲线的实轴,它的长线段叫做双曲线的虚轴,它的长是双曲线的实半轴长,是双曲线的虚半轴长的关系,思考双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响提示双曲线的离心率𝑐𝑎反映了双曲线开口的大小,越大,双曲线的开口就越大思考双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上提示实轴思考条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点提示个名师点拨双曲线与椭圆的六个不同点双曲线椭圆图形两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实虚轴长短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率关系探究探究二探究三探究四由双曲线方程研究其几何性质已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤先将双曲线的方程化为标准形式𝑥𝑎−𝑦𝑏或𝑦𝑎𝑥𝑏,再根据,的值注意分母分别为而不是,求出,进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案画几何图形时,要先画双曲线的两条渐近线即以,为两邻边的矩形的对角线所在的直线和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形典型例题求双曲线的半实轴长半虚轴长焦点坐标顶点坐标离心率和渐近线方程,并作出草图思路分析将双曲线方程变为标准方程,确定后求解探究探究二探究三探究四解把方程化为标准方程𝑦−𝑥,由此可知,实半轴长,虚半轴长焦点坐标为顶点坐标为离心率为𝑐𝑎渐近线方程为作草图探究探究二探究三探究四利用几何性质求双曲线的标准方程双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,般都采用待定系数法,即先设出标准方程,再利用条件列出关于的方程,解方程组求出待定系数典型例题根据下列条件,求双曲线的标准方程已知双曲线的渐近线方程为,焦距为已知双曲线的渐近线方程为,且过点与椭圆𝑥𝑦有公共焦点,且率心率思路分析根据题设条件确定,的关系式,利用解方程的方法