次项,负时向下,正时向上如果是次项,负时向左,正时向右名师点拨对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比分析,其共同点顶点都为原点对称轴为坐标轴准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于次项系数的绝对值的焦点到准线的距离均为其不同点对称轴为轴时,方程的右端为,左端为对称轴为轴时,方程的右端为,左端为开口方向与轴或轴的正半轴相同,焦点在轴或轴的正半轴上,方程的右端取正号,开口方向与轴或轴的负半轴相同,焦点在轴或轴的负半轴上,方程的右端取负号只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程探究探究二探究三探究四由抛物线的性质求标准方程确定抛物线的标准方程时,从形式上看,只需求个参数,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论,有时也可设标准方程的统形式,避免讨论,如焦点在轴上的抛物线标准方程可设为,焦点在轴上的抛物线标准方程可设为典型例题求适合下列条件的抛物线的标准方程过点题意知,代入得𝑦𝑦𝑥𝑥所以直线的方程为,即探究探究二探究三探究四解法二由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零,设所求方程为由方程组𝑦得设弦的两端点,的坐标分别是则𝑘因为的中点为所以𝑘所以所以所求直线方程为,即探究探究二探究三探究四点评本题解法是求与中点有关问题常用的“点差法”设点作差找斜率是主要的解题技巧解法二没有求出,的坐标,而是运用韦达定理及的中点坐标求出值,这也是解题中常用的方法般求出直线方程后,把直线方程与抛物线方程联立,组成方程组看方程组是否有两个解,有两解时求出的直线方程为所求的直线方程探究探究二探究三探究四易错辨析易错点不理解抛物线的标准方程的形式典型例题设抛物线的准线与直线的距离为,求抛物线的标准方程错解由可知其准线方程为𝑚由题意知𝑚,解得,故所求抛物线的标准方程为探究探究二探究三探究四错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为𝑚二是得到准线方程后,只分析其中的种情况,而忽略了另种情况,只得到了个解正解可化为𝑚,其准线方程为𝑚由题意知𝑚或𝑚,解得或,故所求抛物线的标准方程为或方程表示抛物线,其中不能为或且答案抛物线的焦点为,点,在此抛物线上,为线段的中点,则点到该抛物线准线的距离为解析由点,在抛物线上,可知,即如图所示,所以点到准线的距离为𝑃𝐵𝐹𝐴答案设抛物线的焦点到直线的距离为,则解析当时,由题意得𝑚,故当时,由题意得𝑚,故答案或正三角形的个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长解如图,设正三角形的顶点,在抛物线上,且坐标分别为则𝑦,𝑦又因为,所以𝑥𝑦𝑥𝑦,即𝑥−𝑥所以因为,所以即,两点关于轴对称,则所以⊥轴,所以又因为𝑦𝑝,所以所以,即为所求正三角形的边长抛物线的几何性质课程目标学习脉络理解抛物线的简单几何性质了解抛物线的简单应用归纳对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同抛物线的几何性质思考掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“率”“方向”,它们分别指的是什么提示“两点”是指抛物线的焦点和顶点“两线”是指抛物线的准线和对称轴“率”是指离心率“方向”是指抛物线的开口方向思考抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些提示抛物线的离心率等于,它只有个焦点个顶点条对称轴和条准线它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线抛物线四种形式的标准方程及其性质标准方程图象范围,,,,对称轴轴轴顶点原点,焦点𝑝𝑝准线𝑝𝑝𝑝𝑝离心率思考怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向提示次项的变量若为或,则轴或轴是抛物线的对称轴,次项系数的符号决定开口方向如果是次项,负时向下,正时向上如果是次项,负时向左,正时向右名师点拨对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比分析,其共同点顶点都为原点对称轴为坐标轴准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于次项系数的绝对值的焦点到准线的距离均为其不同点对称轴为轴时,方程的右端为,左端为对称轴为轴时,方程的右端为,左端为开口方向与轴或轴的正半轴相同,焦点在轴或轴的正半轴上,方程的右端取正号,开口方向与轴或轴的负半轴相同,焦点在轴或轴的负半轴上,方程的右端取负号只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程探究探究二探究三探究四由抛物线的性质求标准方程确定抛物线的标准方程时,从形式上看,只需求个参数,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论,有时也可设标准方程的统形式,避免讨论,如焦点在轴上的抛物线标准方程可设为,焦点在轴上的抛物线标准方程可设为典型例题求适合下列条件的抛物线的标准方程过点对称轴为轴,顶点与焦点的距离为抛物线上点,到焦点,的距离是思路分析在求抛物线标准方程时,首先要确定标准方程的类型,即定型,也就是判断焦点的位置,然后根据条件求出值,即定量探究探究二探究三探究四解设所求的抛物线方程为或,由过点知或,得故所求的抛物线方程为