1、−𝑦𝑏的条渐近线方程为,则该双曲线的离心率的值为解析由已知得𝑏𝑎,则,即故𝑐𝑎,从而𝑐𝑎答案过点,且斜率为的直线交双曲线𝑦于,两点,为坐标原点,则的面积为解析联立方程得𝑦𝑥消去得,解得或分别代入得故的面积为答案双曲线的简单几何性质课程目标学习脉络掌握双曲线的范围对称性顶点离心率等几何性质了解双曲线的渐近性及渐近线的概念能区别椭圆与双曲线的性质双曲线的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上。

2、结合其他条件求出的值即可得到双曲线方程典型例题根据下列条件,求双曲线的标准方程已知双曲线的焦点在轴上,且虚轴长为,离心率为已知双曲线的渐近线方程为,焦距为解由已知设双曲线为𝑥𝑎−𝑦𝑏则𝑏𝑎𝑏𝑐解得𝑎𝑐,故所求双曲线的方程为𝑥−𝑦探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五方法当焦点在轴上时,设所求双曲线方程为𝑥𝑎−𝑦𝑏由渐近线方程为,得𝑏𝑎,又,得,故双曲。

3、𝑘𝑘𝑘,解得或舍去已知双曲线方程为,则双曲线的虚轴长为解析将双曲线方程化为标准方程𝑥−𝑦,则,故,即虚轴长为答案双曲线𝑥−𝑦的焦点到渐近线的距离为解析由双曲线𝑥−𝑦,得故不妨取焦点渐近线为,则距离答案已知双曲线的中心为坐标原点,其中个顶点为条渐近线为,则双曲线方程为𝑥−𝑦𝑥−𝑦𝑥𝑦解析顶点,在轴上,焦点在轴上,设方程为𝑦𝑎−𝑥𝑏,则双曲线方程为𝑦答案双曲线𝑥𝑎。

4、探究二探究三探究四探究五探究二由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程根据双曲线的性质求标准方程,般采用待定系数法解决此类问题的常用方法是先定型焦点在哪个轴上,再定量确定,的值要特别注意的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为,同号,然后由条件求,与双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为𝑥𝑎−𝑦𝑏,然后再。

5、点的距离相等,求的值错解由𝑘𝑥𝑦得设则𝑘𝑘,设为的中点,则𝑥𝑥即𝑘𝑘探究探究二探究三探究四探究五点,到,两点的距离相等,⊥解得或所求的值为或错因分析忽视了直线与双曲线有个交点的条件,方程组有个不同解,应满足𝑘探究探究二探究三探究四探究五正解由𝑘𝑥𝑦得由题意,得𝑘,解得且设则𝑘𝑘,设为中点,则𝑥𝑥即𝑘𝑘,𝑘探究探究二探究三探究四探究五点,到,两点的距离相等,⊥,即。

6、焦点在轴上图形标准方程−−范围,或,或顶点轴长虚轴长,实轴长焦点焦距对称性对称轴为轴轴,对称中心为原点,离心率渐近线或或思考双曲线的离心率对开口大小有什么影响提示离心率越大,双曲线的开口越大,离心率越小,即越接近于,开口便越小思考双曲线确定,渐近线确定吗反过来呢提示当双曲线的方程确定后,其渐近线方程也就确定了反过来,确定的渐近线却对应着无数条双曲线,所以具有相同的渐近线的双曲线可设为𝑥𝑎−𝑦𝑏,。

7、线的标准方程为𝑥−𝑦同理,当焦点在轴上时,双曲线的方程为𝑦系数直线与双曲线的三种位置关系无公共点,此时直线有可能为双曲线的渐近线有个公共点,分两种情况直线是双曲线的切线,特别地,直线过双曲线个顶点,且垂直于实轴直线与双曲线的条渐近线平行,与双曲线的支有个公共点有两个公共点,可能都在双曲线支上,也可能两支上各有点典型例题已知直线与双曲线若直线与双曲线没有公共点,求的取值范围若直线与双曲线有两个公共点。

8、得出双曲线的几何性质,主要包括“六点”实轴端点虚轴端点焦点“四线”对称轴渐近线“两比率”离心率渐近线的斜率双曲线的实轴长虚轴长焦距离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关双曲线的顶点坐标虚轴端点坐标焦点坐标渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关,而且与双曲线的实轴位置轴轴有关已知双曲线的标准方程确定性质时,定要弄清方程中的,所对应的值,再利用得到,从而确定若方程不是标准形式,先化成标准方程,。

9、,求的取值范围若直线与双曲线只有个公共点,求的取值范围探究探究二探究三探究四探究五解由𝑦𝑘𝑥得直线与双曲线没有公共点,则式方程无解故𝑘,𝛥𝑘𝑘或或,解得且直线与双曲线只有个公共点,则式方程只有解当,即时,式方程只有解当时,应满足,解得,故的值为或探究探究二探究三探究四探究五探究五易错辨析易错点忽视条件中“有两个交点”的条件而致误典型例题已知直线与双曲线𝑥相交于两个不同点且轴上的点,到,两。

10、与双曲线有个交点,称直线与双曲线相切⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离思考“直线与双曲线只有个公共点”是“直线与双曲线相切”的什么条件提示直线与双曲线只有个公共点时,直线可能与双曲线相切,也可能平行于渐近线直线与双曲线相切定能得到直线与双曲线只有个公共点,故直线与双曲线只有个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件探究探究二探究三探究四探究五探究由双曲线标准方程求几何性质根据双曲线的标准方程可以。

11、再确定的值典型例题已知双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏的个焦点为实轴长为,则此双曲线的渐近线方程为解析由已知可得故,即从而双曲线的渐近线方程为答案探究探究二探究三探究四探究五若双曲线的离心率为,个顶点为则此双曲线的虚轴长为解析由已知可得双曲线的焦点在轴上,则𝑎𝑐𝑎𝑏,即𝑎𝑏故,即虚轴长为答案探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五探究二由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程根据双曲线的。

12、,当时,焦点在轴上,当时,焦点在轴上等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,显然,它的渐近线方程为,离心率为,方程可表示为直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组𝑦𝑘𝑥𝑚,𝑥𝑎𝑦𝑏的解的个数进行判断代入得当,即𝑏𝑎,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于点当,即𝑏𝑎时⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交⇔直线。

参考资料：

[1]【课堂设计】高中数学 2.3.1 条件语句课件 北师大版必修3（第28页，发表于2022-06-24）

[2]【课堂设计】高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1（第21页，发表于2022-06-24）

[3]【课堂设计】高中数学 2.2.3 循环结构课件 北师大版必修3（第30页，发表于2022-06-24）

[4]【课堂设计】高中数学 2.2.2 椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1（第27页，发表于2022-06-24）

[5]【课堂设计】高中数学 2.2.2 变量与赋值课件 北师大版必修3（第26页，发表于2022-06-24）

[6]【课堂设计】高中数学 2.2.1 椭圆课件 新人教A版选修2-1（第22页，发表于2022-06-24）

[7]【课堂设计】高中数学 2.2.1 顺序结构与选择结构课件 北师大版必修3（第32页，发表于2022-06-24）

[8]【课堂设计】高中数学 2.1 算法的基本思想课件 北师大版必修3（第24页，发表于2022-06-24）

[9]【课堂设计】高中数学 2.1 曲线与方程课件 新人教A版选修2-1（第23页，发表于2022-06-24）

[10]【课堂设计】高中数学 1.8 最小二乘估计课件 北师大版必修3（第29页，发表于2022-06-24）

[11]【课堂设计】高中数学 1.7 相关性课件 北师大版必修3（第20页，发表于2022-06-24）

[12]【课堂设计】高中数学 1.6 统计活动：结婚年龄的变化课件 北师大版必修3（第18页，发表于2022-06-24）

[13]【课堂设计】高中数学 1.5.2 估计总体的数字特征课件 北师大版必修3（第23页，发表于2022-06-24）

[14]【课堂设计】高中数学 1.5.1 估计总体的分布课件 北师大版必修3（第32页，发表于2022-06-24）

[15]【课堂设计】高中数学 1.4 数据的数字特征课件 北师大版必修3（第27页，发表于2022-06-24）

[16]【课堂设计】高中数学 1.4 全称量词与存在量词课件 新人教A版选修2-1（第16页，发表于2022-06-24）

[17]【课堂设计】高中数学 1.3 统计图表课件 北师大版必修3（第33页，发表于2022-06-24）

[18]【课堂设计】高中数学 1.3 简单的逻辑联结词课件 新人教A版选修2-1（第18页，发表于2022-06-24）

[19]【课堂设计】高中数学 1.2.2 分层抽样与系统抽样课件 北师大版必修3（第29页，发表于2022-06-24）

[20]【课堂设计】高中数学 1.2.1 简单随机抽样课件 北师大版必修3（第22页，发表于2022-06-24）