“平面向量的数量积”说课稿—获奖说课稿

平面向量数量积的物理背景及其含义数量积的概念二数量积的性质四应用与提高概念例概念强调记法例规定三数量积的运算律例几何意义物理意义五教学过程设计课标指出数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。

为有序有效地进行教学，本节课我主要安排以下六个活动活动创设问题情景，激发学习兴趣正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于人的。

平面向量的数量积这重要概念，和向量的线性运算样，也有其数学背景和物理背景，为了体现这点，我设计以下几个问题问题我们已经研究了向量的哪些运算这些运算的结果是什么问题我们是怎么引入向量的加法运算的我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的期望学生回答物理模型概念性质运算律应用问题如图所示，物体在力的作用下产生位移，力所做的功。

请同学们分析这个公式的特点功是量，力是量，位移是量，是。

问题的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法减法及数乘样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。

问题的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。

问题的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进步研究这种新运算的愿望。

同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

活动二探究数量积的概念概念的抽象在分析功的计算公式的基础上提出问题问题你能用文字语言来表述功的计算公式吗如果我们将公式中的力与位移推广到般向量，其结果又该如何表述学生通过思考不难回答功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我进步明晰数量积的概念。

概念的明晰已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱︱︱叫做与的数量积或内积，记作，即︱︱︱︱在强调记法和规定后，为了让学生进步认识这概念，提出问题问题向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同影响数量积大小的因素有哪些并完成下表角的范围的符号通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。

探究数量积的几何意义这个问题教材是这样安排的在给出向量数量积的概念后，只介绍了向量投影的定义，直到讲完例后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形式呈现给学生，我觉得这样安排似乎不太自然，还不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归纳得出，所以做了调整。

为此，我首先给出给出向量投影的概念，然的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。

明晰数量积的性质性质的证明这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到般的思维品质。

活动四探究数量积的运算律运算律的发现关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题问题我们学过了实数乘法的哪些运算律这些运算律对向量是否也适用通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。

学生可能会提出以下猜测猜测的正确性是显而易见的。

关于猜测的正确性，我提示学生思考下面的问题猜测的左右两边的结果各是什么它们定相等吗学生通过讨论不难发现，猜测是不正确的。

这时教师在肯定猜测的基础上明晰数量积的运算律明晰数量积的运算律证明运算律学生证明运算律我把运算运算律的证明交给学生完成，在证明时，学生可能只考虑到的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题当时，向量与，与的方向的关系如何此时，向量与及与的夹角与向量与的夹角相等吗师生共同证明运算律运算律的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。

在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在起。

活动五应用与提高例师生共同完成已知︱︱，︱︱，与的夹角为，求，并思考此运算过程类似于哪种运算例学生完成对任意向量，是否有以下结论例师生共同完成已知︱︱，︱︱，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直并思考通过本题你有什么收获本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例和例增加了题后反思。

例是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。

完成计算后，进步提出问题此运算过程类似于哪种运算目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例给出的两个公式，再由学生完成证明，方面这并不困难，另方面培养了学生通过类比这思维模式达到创新的目的。

例的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习下列两个命题正确吗为什么若≠，则对任非零向量，有≠若≠则已知中，当或时，试判断的形状。

安排练习的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这重要运算，通过练习使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进步感受数量积的应用价值。

活动六小结提升与作业布置本节课我们学习的主要内容是什么平面向量数量积的两个基本应用是什么我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

布置作业课本习题组。

拓展与提高已知与都是非零向量，且与垂直，与垂直求与的夹角。

在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了课标的基本要求，因此安排了组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。

其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了道有定难度的问题供学有余力的同学选做。

六教学评价设计评价方式的转变是新课程改革的大亮点，课标指出相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。

因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。

结合课标对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

在学生讨论交流协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

平面向量的数量积说课稿说课内容普通高中课程标准实验教科书人教版数学必修第二章第四节平面向量的数量积的第课时平面向量数量积的物理背景及其含义。

下面，我从背景分析教学目标设计课堂结构设计教学过程设计教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

背景分析学习任务分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又重要运算，也是高中数学的个重要概念，在数学物理等学科中应用十分广泛。

本节内容教材共安排两课时，其中第课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中功的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的般方法即先由特殊模型主要是物理模型抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。

这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这点是很难接受的另方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。

因而本节课教学的难点数量积的概念。

二教学目标设计普通高中数学课程标准实验对本节课的要求有以下三条通过物理中功等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。

为了突破这难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中功的实例都发挥了重要作用。

其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。

最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。

综上所述，结合课标要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断体会类比的数学思想和方法，进步培养学生抽象概括推理论证的能力。

三课堂结构设计本节课从总体上讲是节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基础上研究数量积的性质和运算律，使学生进步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。

四教学媒体设计和大纲教材相比，课标教材在本节课的内容安排上，虽然将向量的夹角在平面向量基本定理节提前做了介绍，但却将原来分两节