右边，所以等式成立假设时等式成立，即有„，则当时，„所以当时，等式也成立由可知，对切等式都成立方法规律总结用数学归纳法证明恒等式时，是弄清取第个值时等式两端项的情况二是弄清从到等式两端增加了哪些项，减少了哪些项三是证明时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝证明目标的表达式变形，求证„„证明当时，左边，右边左边右边假设时等式成立，即„„，则当时，„„„即当时，等式也成立综合可知，对切，等式成立用数学归纳法证明不等式分析按照数学归纳法的步骤证明，由到的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化用数学归纳法证明„证明当时，命题成立假设时命题成立，即„当时，„命题成立由知原不等式在时均成立方法规律总结用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法比较法等其他方法证明在推证“时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论求证„枣庄市高二期末用数学归纳法证明，这里且，且证明设„当时原不等式成立设时，原不等式成立即„成立，当时，„„„„„„，时，命题成立综合可得原命题对恒成立当时，左边，右边，，左边右边，原不等式成立假设当时，不等式成立，即，则当时，在不等式两边同乘以得即当时，不等式也成立综合可得对切正整数，不等式都成立用数学归纳法证明整除问题求证能被整除，，分析证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项减项拆项和因式分解等手段，凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决证明当时，命题显然成立假设当能被整除⇒能被整除或利用“能被整除，存在整式，使”，将变形转化分解因式产生因式例如本题中，在推证命题也成立时，可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设时，能被整除，则为多项式，所以，所以时，显然能被整除，即时，命题亦成立求证当为正奇数时，能被整除证明显然，当时，命题成立，即能被整除假设当时命题成立，即能整除，则当时能整除，又能整除，能整除由可知当为正奇数时，能被整除用数学归纳法证明几何问题平面内有个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于点，求证这个圆将平面分成个区域分析本题关键是弄清第个圆与前个圆的交点个数，以及这些交点又将第个圆分成了多少段弧，每段弧又是怎样影响平面区域的划分的证明当时，个圆将平面分成个区域，命题显然成立假设当时命题成立，即个圆将平面分成个区域则当时，第个圆交前面个圆于个点，这个点将第个圆分成段弧，每段弧将各自所经过的区域分为二，于是增加了个区域，所以这个圆将平面分成个区域，即个区域，故当时，命题也成立由可知，对切，命题都成立方法规律总结用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何中图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将和分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的大技巧用数学归纳法证明凸边形的对角线的条数为证明三角形没有对角线，时命题成立假设时，命题成立，即，则当时，凸边形由原来的个顶点变为个顶点，对角线条数增加条当时命题成立，对任何且，凸边形对角线条数为归纳猜想证明锦州中高二期中考察下列各式你能做出什么般性的猜想能证明你的猜想吗分析观察给出等式的特点，分析其规律可以发现，第个等式左端是个连续自然数的乘积，乘积的第个自然数为，故左端为„第个等式右端都由两部分乘积构成，前部分为，后部分为数列的前项的积，据此可作出猜想，用数学归纳法证明猜想的结论时，关键是将时左端的式子中符合“时的等式左端部分用时等式的右端部分”代替后，进行变形解析由题意得，„猜想„„，下面利用数学归纳法进行证明，证明当时，显然成立假设当时等式成立，即„„，那么当时，„„„„„所以当时等式成立根据可知对任意正整数等式均成立方法规律总结解答归纳猜想证明题的般步骤是验证„提出猜想用数学归纳法证明存在型探索性数学归纳法命题，先假设存在，取初始值代入求出参数值，再确定命题是否成立，最后用数学归纳法证明秦安县西川中学高二期中已知数列满足写出，并推测的表达式用数学归纳法证明所得的结论解析将代入中得猜想成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修推理与证明第二章数学归纳法第二章典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤重点数学归纳法的原理及步骤难点用数学归纳法证题的步骤技巧回顾复习归纳推理的定义步骤及其所得结论的正确性如何数学归纳法温故知新数学归纳法证明个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行归纳奠基证明当取时命题成立归纳递推假设，证明新知导学第个值，时命题成立当时命题也成立应用数学归纳法时特别注意用数学归纳法证明的对象是与有关的命题在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺不可其中，第步是递推的，验证时结论成立的不定为，根据题目要求，有时可为等第二步是递推的，证明时命题也成立的过程中，定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法正整数基础依据另外，归纳假设中要保证从第个数开始，即假设时结论成立，括号内限制条件改为就错了用数学归纳法证明中个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化，如证明恒等式和不等式中，时究竟有几项，从到，项有哪些变化，添了几项，减了几项根据数学归纳法的定义思考下列问题在数学归纳法的定义中为何首先要验证初始值第二步证明时为何必须应用时的假设验证的初始值怎样确定若要证明成立，则要验证的初始值是什么用数学归纳法证明恒等式和不等式时怎样来找从到项数的变化思维导航用数学归纳法证明„时，在验证成立时，左边所得的代数式是答案解析当时，所以左边为故应选牛刀小试用数学归纳法证明„，从“到”时，等式左边需要增添的项是答案解析当时，等式左边„当时，等式左边„两者比较需添加的项为故应选用数学归纳法证明不等式„成立时，起始值至少应取为答案解析„而„，故应选华池中高二期中已知„，计算得，由此推测，当时，有答案解析自变量的取值依次为，„故为右边分母全为，分子依次为，„，故右边为，即典例探究学案数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式证明„分析第步验证取第个正整数时等式成立，第二步假定时命题成立，即„成立，并以此作为条件来推证等式„成立证明当时，左边，右边，左边右边，所以等式成立假设时等式成立，即有„，则当时，„所以当时，等式也成立由可知，对切等式都成立方法规律总结用数学归纳法证明恒等式时，是弄清取第个值时等式两端项的情况二是弄清从到等式两端增加了哪些项，减少了哪些项三是证明时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝证明目标的表达式变形，求证„„证明当时，左边，右边左边右边假设时等式成立，即„„，则当时，„„„即当时，等式也成立综合可知，对切，等式成立用数