简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键有限制条件组合问题的常见类型解决所选取的组合中“含”与“不含”个元素，这类问题的处理方法通常是直接法解决“至多”或“至少”问题，通常用间接法，也可以用直接法解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽取组合问题，往往寻找个组合的模型加以处理班级要从名男生名女生中选派人参加次社区服务，如果要求至少有名女生，那么不同的选派方案种数为答案解析这里“至少有名女生”，即“恰好有名女生”或“有名女生”方法分类完成第类，名女生，名男生，有种选派方案第二类，名女生，名男生，有种选派方案，故有种不同的选派方案方法二间接法人中选派人的组合数为，其中都选男生的组合数为所以至少有名女生的选派方案有种五排列与组合的综合应用题在解排列组合应用题时，注意利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接法解题注意三点仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步深入分析，严密周详注意分清是乘还是加，既不少也不多对于有限制条件的比较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计算原理来解决安排名支教教师去所学校任教，每校至多人，则不同的分配方案共有种用数字作答答案解析可以有个人每人去所学校，有种方法可以有个人到所学校，另个人去另外所学校中的所，有种方法所以共有种方法六分组分配问题个不同元素按照些条件分配给个不同的对象，称为分配问题，分定额分配和随机分配两种将个不同元素按照些条件分成组，称为分组问题分组问题有不平均分组平均分组和部分平均分组三种情况分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的对于后者必须先分组后排列分组问题的常见形式及处理方法非均匀不编号分组个不同元素分成组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为„„均匀不编号分组将个不同元素分成不编号的组，假定其中组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为其中为非均匀不编号分组中的分法数如果再有组均均分组应再除以非均匀编号分组个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且都虑各组间的顺序，其分法种数为均匀编号分组个不同元素分成组，其中组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为有件不同的礼品，分给甲乙丙三人，每人各得两件，有多少种分法分给甲乙丙三人，甲得件，乙得件，丙得件，有多少种分法分成三堆，堆件，堆件，堆件，有多少种分法解析人人地分，共有种仍以人的顺序分，共有种第堆有种分法，第二堆有种分法，第三堆有种分法，所以共有种分法课堂典例探究判断下列问题是排列问题，还是组合问题从，„，九个数字中任取个，组成个三位数，这样的三位数共有多少个，„„，以上各式累加得„„„答案方法总结本题解答过程中应用了公式，即要熟悉此公式，注意在相关问题中的应用计算的值解析由，得，，原式！！！！！！分析将组合数不等式转化为代数不等式来解解方程不等式和证明完成下列各题若，求的集合证明解析若，⇒！！！！！！⇒⇒，，的集合为,证明原式左边！！！！！！右边！！！！！！！！！左边右边，故原等式成立证明，证明右边！！！！！！！！！左边，原式成立在次救灾活动中，医院从名医疗专家中抽调名奔赴赈灾前线，其中这名医疗专家中有名是外科专家问抽调的名专家中恰有名是外科专家的抽调方法有多少种至少有名外科专家的抽调方法有多少种至多有名外科专家的抽调方法有多少种分析本题是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确地分类或分步解决有条件限制的组合问题解析分步首先从名外科专家中任选名，有种选法，再从除外科专家外的人中选取人，有种选法，所以共有种抽调方法“至少”的含义是不低于，有两种解答方法解法直接法按选取的外科专家的人数分类选名外科专家，共有种选法选名外科专家，共有种选法选名外科专家，共有种选法根据分类加法计数原理，共有种抽调方法解法间接法不考虑是否有外科专家，共有种选法，考虑选取名外科专家参加，有种选法没有外科专家参加，有种选法，所以共有种抽调方法“至多名”包括“没有”“有名”“有名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有种选法有名外科专家参加，有种选法有名外科专家参加，有种选法所以共有种抽调方法方法总结解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法排除法”其中用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取而选择间接法的原则“正难则反”，也就是若正面问题分类较多较复杂或计算量较大，不妨从问题的反面入手，试试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键男运动员名，女运动员名，其中男女队长各人选派人外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法男运动员名，女运动员名至少有名女运动员队长中至少有人参加既要有队长，又要有女运动员解析第步选名男运动员，有种选法第二步选名女运动员，有种选法共有种选法解法至少名女运动员包括以下几种情况女男，女男，女男，女男由分类加法计数原理可得总选法数为种解法“至少名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解从人中任选人有种选法，其中全是男运动员的选法有种所以“至少有名女运动员”的选法为种解法可分类求解“只有男队长”的选法为“只有女队长”的选法为“男女队长都入选”的选法为所以共有种选法解法间接法从人中任选人有种选法其中不选队长的方法有种所以“至少名队长”的选法为种当有女队长时，其他人选任意，共有种选法不选女队长时，必选男队长，共有种选法其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有种排列组合的综合应用题从到的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问能组成多少个没有重复数字的七位数上述七位数中三个偶数排在起的有几个中的七位数中，偶数排在起，奇数也排在起的有几个中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修计数原理第章排列与组合第章第课时组合课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习国际会议中心有和共种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大中小和特小种型号，总共个会议室现在有个国际学术会议需要选择种不同功能的个会议室，并且每种功能的会议室选个型号试问会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种排列排列数与排列数公式排列从个不同元素中任取个元素叫做从个不同元素中取出个元素的个排列排列数从个不同元素中取出个元素的排列数公式其中，，并且按照定的顺序排成列所有排列的个数判断正确的打，错误的打“”两个排列的元素相同，则两个排列的是相同的排列式子中不能为式子！！中组合的概念般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成组，叫做从个不同元素中任取个元素的个组合学习时主要应理解以下几点给出的个元素是互不相同的，且从个元素中抽取个元素是没有重复抽取情况的，因而这个元素也是互不相同的，这就决定了组合的定义中包含两个基本内容是“取出元素”二是“并成组”，“并成组”即表示与顺序无关由定义知，两个组合相同，只需这两个组合的元素相同即可二组合数及组合数公式从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示正确理解组合与组合数的关系“组合”与“组合数”是两个不同的概念，个组合是指“从个不同的元素中，任取个元素并成组”，它不是个数，而是具体的件事组合数是指“从个不同元素中，任取出个元素的所有组合的个数”，它是个数例如，从个不同元素中每次取出个元素的组合为，其中每种都叫个组合，而数字就是组合数求组合数的问题也可以从集合的角度进行解释从人中选人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有种种种种答案解析甲必须参加，因此只要从除甲之外的人中选人即可，有种不同的选法三组合数的性质及应用组合数的性质主要是指性质和性质对组合数的两个性质的理解要注意以下三点性质，突出了从个元素中取出个元素与从个元素中取出个元素是对应关系，当时，般情况下，不计算而改为计算性质要结合教材对“从个不同元素中取个元素，可以对个指定元素是否含在这个元素当中”分类的取法来理解记忆性质性质在有关组合数的计算化简证明中有着广泛地应用„答案解析原式„„„„四有限制条件的组合实际应用问题解答有限制条件的组合应用题时的基本方法是“直接法”和“间接法”排除法其中用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素，再安排其他元素而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是当正面问题分的类较多较复杂或计算量较大时，不妨从反面入手，试试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键有限制条件组合问题的常见类型解决所选取的组合中“含”与“不含”个元素，这类问题的处理方法通常是直接法解决“至多”或“至少”问题，通常用间接法，也可以用直接法解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽取组合问题，往往寻找个组合的模型加以处理班级要从名男生名女生中选派人参加次社区服务，如果要求至少有名女生，那么不同的选派方案种数为答案解析这里“至少有名女生”，即“恰好有名女生”或“有名女生”方法分类完成第类，名女生，名男生，有种选派方案第二类，名女生，名男生，有种选派方案，故有种不同的选派方案方法二间接法人中选派人的组合数为，其中都选男生的组合数为所以至少有名女生的选派方案有种五排列与组合的综合应用题在解排列组合应用题时，注意利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间