【毕业设计】关于一阶微分方程解的研究

例设，在闭区间上连续，在内可导，且对于的切有证明方程的两个相邻的根之间至少有的个实根池州学院毕业论文证明设，，且是的两个相邻的实根，若，没有的实根，则可以在，对函数应用罗尔定理，于是存在使得则有式子与题中的条件相矛盾，则有命题得证方程的解的唯性的研究，我们了解下存在唯性的定理，定理如下如果，在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程，存在唯的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，这里利用罗尔定理证明至少存在个解利用函数单调性证明最多有个实数解也可以利用反证法来证明最多有个实数解下面的例题给以说明上面的证明唯性的思路例设函数在闭区间上可微，对于上的每个，函数的值都在开区间内，且，证明在内有且仅有个，使证明令，由题设知道在上连续又由于，所以，，由闭区间上的连续函数的零值定理可知在内至少点，使，即另用反证法证明在内至多有个零点，若不然，，且，使得，，，由拉格朗日中值定理，至少存在个第二章阶微分方程根的研究，使得与题中的条件相矛盾综上所述，在内有且仅有个，使例设在上处处有，且证明在内方程仅有个实数解证明把在处展成阶的泰勒展式，因此由题中的条件，则，于是，有，可知，取时，，又，由罗尔定理可知，程仅有个实数解证明把在处展成阶的泰勒展式，因此由题中的条件，则，于是，有，可知，取时，，又，由罗尔定理可知，，，使即方程，当时，方程有实数解又由题设时处处有，所以是单调递减的于是，当时可知，当时是严格单调递减函数，因此最多有个实数解，综上所述，在内方程仅有个实数解。

对方程的解的个数的讨论方程根个数讨论的般步骤如下求出的拐点和的不存在点划分的单调递减性区间求出各单调之间的极值或最值分析极值或最值与轴的相对位置。

下面的例题给以应用例讨论方程，的解解令，则，当时，，因此可知，是单调递增的函数，而，，由罗尔定理及单调性可知，在，内存在且仅存在个，使得，即，所以池州学院毕业论文当时，令，即，则有拐点，又因为，所以为的唯拐点，因此为在，上的最值，因此，当，，则，所以当时，方程有两个实数解当时，即，亦即时，方程没有实数根当时，即，即时，方程有唯的实数解当时，原方程可以推得，所以方程没有实数解例证明方程在内有且仅有两个不同的实数解证明令，则，令，则有，下面列表判极值点，如见表表判断极值点由上表可以知道在与分别至多有个零点，又因为是在上的唯拐点，所以是在内的极大值，因此它是在内的最大值，又由于，而正数负数递增极大值递减第二章阶微分方程根的研究，可以知道在与分别至少有个零点，故在内有且仅有个不同的实数解即方程在内有且仅有两个不同的实解池州学院毕业论文参考文献王高雄，周之铭等常微分方程北京高等教育出版社年月第三版华东师范大学数学系数学分析北京高等教育出版社年月第三版同济大学数学系研究室高等数学北京高等教育出版社年月第四版。

丁同仁，李承治常微分方程教程高等教育出版设，致谢经过近三个月的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为个毕业生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有桂旺生老师的督促指导，以及起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的在这里首先要感谢我的指导老师桂老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导除了敬佩桂老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作本论文的写作参考引用了定的书籍和文献，在此向这些文章的作者表示深深的谢意然后还要感谢大学三年来所有的老师，为我打下数学专业知识的基础同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励此次毕业设计才会顺利完成最后，再次感谢所有关心和爱护我的老师亲人同学和朋友，学号毕业论文论文题目关于阶微分方程解的研究姓名袁婷学科专业数学教育指导教师桂旺生完成时间年月日Ⅰ摘要本文运用罗尔定理，零点定理，拉格朗日中值定理，极值定理，泰勒公式来研究阶微分方程的解存在性，唯性，总结了种根的存在性及唯性的证明思路，并举例给以应用，进步对方程解的个数进行了讨论。

关键词解的存在性解的唯性解的个数Ⅱ目录第章绪论引言五个基本定理第二章阶微分方程解的研究关于方程的解或的零点存在性的证明思路方程的解的唯性的研究对方程的解的个数的讨论参考文献池州学院毕业论文第章绪论引言研究微分方程解的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的情况。

牛顿建立微积分的同时，又简单的研究了微分方程用级数求解，后来瑞士学家雅各布贝努利，欧拉，法国数学家克雷洛，拉各朗日等人又不断的研究和丰富了微分方程的理论。

微分方程的存在和唯性定理对于微分方程的求解是十分重要的，本文主要来讨论方程是否有解，如果有解，是否唯呢如果不唯，解的个数又是多少呢五个基本定理罗尔定理设函数满足如下条件在闭区间上连续，在开区间内可导，，则在内至少存在个ε，使得零值定理设函数在上连续，且则在内至少存在ε，使得拉格朗日中值定理设函数满足条件在闭区间上连续，在开区间内可，在内至少存在ε，使得极值定理设函数在处可导，且在处取得极值，则泰勒公式若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在直至阶的连续导函数，在内存在阶的导函数，则对任意给定的至少点，使得第二章阶微分方程根的研究第二章阶微分方程解的研究研究方程的解，关键是看方程的根是否存在，若存在，是否唯，若不唯，那么方程的解是几个呢关于方程的解或的零点存在性的证明思路ⅰ知道在或上连续，而没有说明是否可导，则般用闭区间上连续函数的零值定理证明ⅱ做出的个原函数。

证明满足罗尔定理的条件，从而得出的零点证明。

ⅲ用反证法证明例设在上连续，，证明在内至少存在点ε，使得分析本题仅在上连续，因而只能用零值定理证明证由假设与同号，不妨设，，由导数定义有由极限定理知个当时有又必定同理由，，个当时，有令，则当，时，当，时，又显然在，上连续，由零值定理，在，内，从而在内至少个ε，使得例设，在闭区间上连续，在内可导，且对于的切有证明方程的两个相邻的根之间至少有的个实根池州学院毕业论文证明设，，且是的两个相邻的实根，若，没有的实根，则可以在，对函数应用罗尔定理，于是存在使得