【毕业设计】马柯维茨投资决策模型

单证券的预期收益单证券的预期收益，这种证券在未来有种状态，那么证券的预期收益为式中，为期望收益率为状态出现的概率为针对状况出现时证券的收益率为各种可能状况的总数。

例股票未来个月内的可能收益率及其发生的概率如下表所示，可能的结果收益率概率根据公式，可以计算出该股票的期望收益率为证券组合的预期收益在了解了单证券的预期收益率后，就可以计算证券组合的预期收益率了。

表示包含在组合中各种资产的预期收益的加权平均数，其表达式为式中，为证券组合的期望收益率为组合中证券的预期收益为组合中证券所占的比例，即权数为组合中证券的种类。

例投资者投资于三种股票和，它们的期望收益率分别为和，投资比例分别为和。

于是，证券组合的期望收益率为由于每种证券在定时期后的实际收益率与期望收益率可能不致，因此证券组合的实际收益率与期望收益率也会不同，从而要对证券组合的风险加以考虑。

预期风险风险本身有多种含义，并随着时间的推移，风险的含义也在不断地发展变化。

在马柯维茨理论中，把风险定义为投资收益率的波动性。

收益率的波动性越大，投资的风险就越高。

收益率的波动性，通常用标准差或方差表示。

标准差是各种可能的收益率偏离期望收益率的综合差异，是用来衡量证券收益的风险程度的重要指标，标准差越大，证券的风险也就越大。

单证券的预期风险，即方差和标准差的计算公式如下方差标准差式中，分别表示证券的方差和标准差其余符号的含义同前述预期收益的计算公式。

用例的数据，可以计算出该股票的标准差为般来讲，在相同的期望收益率下，证券的标准差越大，说明其风险也就越大。

证券组合的预期风险协方差证券组合的风险不仅于每种证券的风险有关，而且证券之间的相互关系也会对组合的风险产生影响。

证券之间相互影响产生的收益的不确定性可以用协方差来表示。

协方差是衡量两个随机变量例如证券的收益率和证券的收益率之间的互动性的统计量。

如果用表示证券和之间的协方差，那么如果两种证券之间的协方差为正值，表明两种证券的收益率倾向于同方向变动，即种证券的实际收益率高于期望收益率的情形可能伴随着另种证券相同的情形发生。

如果两种证券之间的协方差为负值，则表明两种证券之间存在着种反向的变动关系，种证券的收益率上升可能伴随着另种证券收益率的下降。

个相对较小或者为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关系或者没有人和互动关系即相互。

证券之间的协方差越大，那么由它们构成的证券组合的风险也就越大。

相关系数两种证券之间的收益互动性还可以用另外个统计量来表示，即两者之间的相关系数。

假设和分别为证券和的收益标准差，是两种证券之间的协方差，则其相关系数的计算公式为相关系数的范围是，表示两种证券收益结果的变化方向完全不相同，称为完全负相关表示两种证券收益结果的变化方向完全相同，称为完全正相关表示两种证券收益结果的变动之间不存在任何关系相关系数在，区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相反，但不是百分之百地完全相反，只存在般性的负相关关系相关系数在，区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相同，但不是百分之百地完全相同，只存在般性的正相关关系。

必须注意，相关系数时，即证券和证券不相关只表明证券和证券不存在线性相关关系，但并不排除证券和证券有其它形式非线性的相依关系。

般来讲，如果两种证券之间的相关系数，则可能会降低组合后的投资风险，而如果它们之间的相关系数，则可能会加大组合后的投资风险。

证券组合的方差和标准差投资组合的预期风险为标准差就为图无差异曲线其中，当时，表示证券和证券收益的协方差，反映了两种证券的收益在个共同周期中变动的相关程度，表示组合中证券，所占的比例。

例投资者投资于和三种股票，投资比例分别为和，收益标准差分别为和，之间的协方差分别为，，。

该证券组合的方差计算如下就是无差异曲线与有效市场边界的切点。

根据无差异曲线与有效市场边界的切点，我们找到了最佳组合点。

虽然投资者更希望能达到的水平，但是这条无差异曲线上的组合已经落在可行集外，是不可能实现的。

无差异曲线虽然也与有效市场边界有交点，但是，因为，所以点的效用最高，且落在有效市场边界上，也就是说，点构成了多元证券组合的最佳组合点，而且我们知道无差异曲线是下凸的，而有效市场边界是下凹的，所以这也保证了切点的唯性。

三马柯维茨问题的提出及其求解马柯维茨模型的数学表述按照马柯维茨的想法，投资者需要找到个最佳的证券组合。

这个最佳组合最能满足投资者在收益和风险之间的平衡。

在系列严格的假设条件下，马柯维茨提出了均值方差模型。

设个投资组合具有种不同的风险证券，其中，第种证券的收益序列为，其预期收益率为，方差为，它在投资组合中的权重为。

则该投资组合中的所有权重必须满足约束条件投资组合的期望收益和方差分别为图最优投资组合的确定在式中，当时，表示证券和的协方差，当时，为证券的方差。

故可把式改为根据投资者均为理性经济人的假设，马柯维茨理论认为投资者在证券投资过程中总是力求在收益定的条件下，将风险降到最小或者在风险定的条件下，获得最大的收益。

为此，他提出了以下两种单目标的投资组合模型Ⅰ给定组合收益Ⅱ给定组合风险模型Ⅰ的意义是在既定期望收益的情况下，使投资风险最小。

模型Ⅱ的意义是在愿意承担风险的条件下，使期望收益最大。

事实上，模型Ⅰ与模型Ⅱ是等价的，即无论是使用模型Ⅰ还是使用模型Ⅱ确定的最优证券组合投资策略的期望收益和风险定满足期望收益率风险平面上的同条曲线方程。

获得了足够的数据，投资者就可以根据自己的投资风格和对风险的偏好程度，来选择模型Ⅰ或Ⅱ建立自己的投资组合，以达到满意的投资效果。

二用方法解马柯维茨模型模型Ⅰ和Ⅱ求解时，可以采用乘数法，通过构造函数求解。

现以模型Ⅰ为例利用乘数法，作函数，式中，，为乘数。

函数对，的偏导数，并令其为零，可得上述方程组共有个未知数，和个方程，因此可以求出，的解，用通式表示如下其中，和为解方程组所求得的常数。

利用乘数法，可以求出函数的稳定点。

在许多情况下，由问题的实际意义，而稳定点又唯，因此，唯的稳定点就是极值点。

对于给定的期望收益率，可以计算出的值，从而得到该期望收益率水平下方差最小的证券组合。

改变的值，能够得到相应的期望收益率水平下方差最小的证券组合。

这样，由根据不同的确定的证券组合形成的集合即为有效市场边界。

四数值实例这部分应用实际数据建立个实例模型。

这里给出了具体模型的建立过程。

然后应用乘数法实现问题的求解。

我们考虑这样个实际的例子这个投资组合中有中风险资产，也即证券市场不征收边际资本收入税风险资产的期望收益率分别为，，，风险资产和风险资产随机收益的协方差分别为，，，，，，，，，针对这个实际的例子，具体建模过程如下投资组合，，这四个变量为风险资产的比例投资组合的期望收益为，代入数值，得投资组合的方差为，代入数值，得针对这个实例，建立两个单目标模型收益定，风险最小化的优化问题模型如下，风险定，收益最大化的优化问题模型如下二模型的求解在这里，取期望收益，具体求解过程如下作函数，其中，，为乘数。

，分别对，求偏导数，并令其为零，可得由于，可直接解上述方程组，得，，，或把上述方程组化为，其中，，，利用法则，求解得因此，最小风险，收益水平。

五马柯维茨投资组合模型应用中的局限性尽管马柯维茨的均值方差模型简单易懂，理论成熟，可是由于在建立该模型时所依赖的些假设条件以及模型本身的特点使得该模型在应用过程中存在些问题。

首先，该模型认为预期收益和风险的估计是对组证券实际收益和风险的正确度量。

相关系数也是对未来关系的正确反映，这是有悖于实际情况的。

因为历史的数字资料并不能准确反映未来的收益和风险的状况，种证券的各种变量也会随时间的推移不停地变化，这些因素都可能从不同的方面造成理论假定与现实的脱节。

其次，该模型用证券未来预期收益率变动的方差或标准差来度量风险的大小。

这样尽管风险的大小明确且易于度量，但是由于方差和标准差在计算中的双向性，就会将预期收益率有益于投资者的变动划入风险的范畴。

这并不能真正反映投资者对其真正面临风险进行回避的需要。

再次，马柯维茨的投资组合模型还假设所有投资者有个共同的单投资期，所有的证券组合有个特有的持有期，而这在现实条件下是不易达到的，这就使得不同期间的资产的收益和风险的比较缺乏个共同的衡量尺度。

造成投资组合求解有效边界的困难。

最后，该模型运用的条件要求非常高，为了在投资组合构建中利用马柯维茨的均值方差模型，投资者必须得到关于感兴趣的证券的收益率方差及两两间协方差的估计。

这样，对于有只股票组成的投资组合，则不仅要有个收益率估计和个方差估计，还要有个协方差估计，总共个估计。

这样，对于包含证券总数较大的投资组合的最优化分析，如果运用马柯维茨的均值方差模型，估计的任务是相当大的。

这样，不仅需要精通理论的专业人员和现