，则为偶函数若，且，则为非奇非偶函数图象法是奇偶函数的充要条件是的图象关于原点轴对称性质法偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数活学活用判断下列函数的奇偶性解函数的定义域为因为对于任意的，都有，所以函数是偶函数函数的定义域为，，，关于原点对称当时则综上可知，函数是偶函数利用函数奇偶性的定义求参数例若函数是偶函数，定义域为则已知函数是奇函数，则实数解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，解得又函数为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得由奇函数定义有，得，故答案类题通法由函数的奇偶性求参数应关注两点函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用利用常见函数如次函数反比例函数二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数活学活用已知函数，又为奇函数即，答案利用函数的奇偶性求解析式例为上的奇函数，当时求的解析式解当，则由于是奇函数，故，所以即当类题通法利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可活学活用已知是上的偶函数，当，时求，时，的解析式解设函数是偶函数，当，时，函数的单调性与奇偶性的综合问题典例分设定义在,上的奇函数在区间,上的奇函数，当时求的解析式解当，则由于是奇函数，故，所以即当类题通法利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可活学活用已知是上的偶函数，当，时求，时，的解析式解设函数是偶函数，当，时，函数的单调性与奇偶性的综合问题典例分设定义在,上的奇函数在区间,上单调递减，若，求实数的取值范围解题流程求实数的取值范围，需建立关于的不等式定义为所以不等式中，均应属于区间,要由不等式求得，应利用单调性及奇偶性去掉，建立关于的的不等式列不等式组结果规范解答由，得，即分又在,上为减函数且在,上为奇函数，在,上为减函数分名师批注由函数为奇函数，将不等式等价变形，这是解决此题的关键步很多同学常因不能实施此变形，造成无法解题，分即解得，即的取值范围为，分由于定义域为故应有此两个不等式，此处极易忽视，造成解题错误由函数的单调性建立此不等式活学活用设函数在上是偶函数，在区间，上递增，且，且，即，解得，的取值范围为随堂即时演练下列图象表示的函数中具有奇偶性的是解析选项中的图象关于原点或轴均不对称，故排除选项中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除选项中的图象关于轴对称，其表示的函数是偶函数故选答案定义在上的偶函数在，上是增函数，则解析在上是偶函数而，且在，上是增函数即答案若函数为偶函数，则实数解析函数为偶函数即答案设偶函数的定义域为若当,时，的图象如图所示，则不等式的解集是解析因为偶函数的图象关于轴对称，所以可根据对称性确定不等式的解集当,时的解集为，所以当,时的解集为的解集是，或答案，或判断下列函数的奇偶性，,解因为函数的定义域为,不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数由，得，又，，且，定义域关于原点对称，且，为奇函数“课时达标检测”见“课时跟踪检测十”第章突破常考题型题型理解教材新知知识点题型二题型三跨越高分障碍应用落实体验随堂即时演练课时达标检测函数的基本性质奇偶性奇偶性提出问题函数的图象分别如图所示奇偶函数的定义问题各个图象有怎样的对称性提示图关于轴对称图关于坐标原点对称问题对于以上三个函数，分别计算，观察对定义域内的每个，与有怎样的关系提示导入新知偶函数奇函数定义般地，如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数就叫做偶函数般地，如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数就叫做奇函数偶函数奇函数定义域关于对称图象特征原点化解疑难理解函数的奇偶性应关注四点函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每个，都有或，才能说是奇偶函数函数是奇函数或偶函数的个必不可少的条件定义域关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数定不具有奇偶性例如，函数在区间，上是偶函数，但在区间,上却无奇偶性可言若奇函数在原点处有定义，则必有若，且，则既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有类，即，，是关于原点对称的实数集判断函数的奇偶性例判断下列函数的奇偶性，,解函数的定义域为实数集，关于原点对称因为即，，所以函数既不是奇函数又不是偶函数因为函数的定义域不关于原点对称，即存在而∉所以函数，,既不是奇函数又不是偶函数函数的定义域为实数集，关于原点对称因为，所以函数是奇函数函数的定义域为，，，关于原点对称当时综上可知，函数是奇函数类题通法判断函数奇偶性的方法定义法根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下判断函数的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称，则进行下步验证或下结论若，则为奇函数若，则为偶函数若，且，则为非奇非偶函数图象法是奇偶函数的充要条件是的图象关于原点轴对称性质法偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数活学活用判断下列函数的奇偶性解函数的定义域为因为对于任意的，都有，所以函数是偶函数函数的定义域为，，，关于原点对称当时则综上可知，函数是偶函数利用函数奇偶性的定义求参数例若函数