作出二元次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图，把变形为，得到斜率为，在轴上的截距为的组平行直线观察图形可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大解方程组，得点的坐标为,元该公司在甲电视台做广告，在乙电视台做广告，公司的收益最大，最大收益是万元课堂探究学案工厂计划生产甲乙两种产品，这两种产品都需要两种原料生产甲产品工时需要种原料，种原料生产乙产品工时需要种原料，种原料现有种原料，种原料如果生产甲产品每工时的平均利润是元，生产乙产品每工时的平均利润是元，问甲乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大最大利润是多少收益最大问题利润收入产量等解析依题意可列表如下产品原料数量原料数量利润元生产甲种产品工时生产乙种产品工时限额数量设计划生产甲种产品用工时，生产乙种产品用工时，则获得利润总额为其中满足下列条件于是问题转化为，在满足条件的情况下，求的最大值画出不等式组表示的平面区域如图问题又可以转化为，在不等式组表示的平面区域内找点，把它的坐标代入式子时，使该式取最大值令，则，此方程表示通过原点的条直线，记为我们平移直线到位置，使通过平面区域，可见当经过点时，在轴上的截距取到最大值，从而取到最大值，解方程组，得点的坐标代入式子，得答用工时生产甲种产品，用工时生产乙种产品，能获得最大利润元方法规律总结利用线性规划解决实际问题的步骤是设出未知数当数据较多时，可以列表格来分析数据列出约束条件，确立目标函数作出可行域利用图解法求出最优解得出结论厂计划生产甲乙两种产品，甲产品售价千元件，乙产品售价千元件，生产这两种产品需要两种原料，生产甲产品需要种原料件，种原料件，生产乙产品需要种原料件，种原料件，该厂能获得种原料，种原料问生产甲乙两种产品各多少件时，能使销售总收入最大最大总收入为多少解析设生产甲乙两种产品分别为件件，总产值为千元，则，画出不等式组表示的平面区域即可行域如图易知直线过点,时，取得最大值答生产甲乙两种产品分别为件件，总收入最大是千元公司租赁甲乙两种设备生产两类产品，甲种设备每天能生产类产品件和类产品件，乙种设备每天能生产类产品件与类产品件已知设备甲每天的租赁费为元，设备乙每天的租赁费为元现该公司至少要生产类产品件，类产品件，所需租赁费最少为元答案耗费资源人力物力资金等最少问题解析设甲乙两种设备分别需要租用天根据题意得，，所需租赁费为作出可行域如图所示，将∶向可行域平移，因为，所以当直线经过点时，取最小值由，得,元即所需租赁费最少为元方法规律总结求最优解时，常常要考要考虑直线的位置，精确作图又比较麻烦，这时可通过比较直线的斜率来判断其位置公司的仓库存有货物，仓库存有货物现按和把货物分别调运给甲乙丙三个商店，从仓库运货物到商店甲乙丙，每吨货物的运费分别为元元元从仓库运货物到商店甲乙丙，每吨货物的运费分别为元元元则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少解析设仓库运给甲乙商店的货物分别为则仓库运给丙商店的货物为仓库运给甲乙丙商店的货物分别为，总运费为，约束条件为，即，作出可行域，如图所示作直线，把直线平行移动，当直线过,时，取得最小值，即，时，总运费最少即仓库运给甲乙丙商店的货物分别为，仓库运给甲乙丙商店的货物分别为，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少人有楼房幢，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房大房间每间面积为，可住游客名，每名旅客每天住宿费元小房间每间面积为，可以住游客名，每名游客每天住宿费为元装修大房间每间需要元，装修小房间每间需元如果他只能筹款元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益整数最优解不是边界点的问题解析设隔出大房间间，小房间间，收益为元，则满足即作出可行域，如图所示当直线经过可行域上的点时，最大解方程组，得点的坐标为由于点的坐标不是整数，而最优解，是整点，所以可行域内点，不是最优解经验证经过可行域内的整点，且使取得最大值的整点是,和此时元答应隔出小房间间，或大房间间小房间间，可以获得最大利润方法规律总结整数最优解不是边界点时，要取可行域内距离最优解最近的点检验找出整数最优解，或者利用格点法即过轴与轴上的整点作与坐标轴平行的直线，从网格交点中找位于可行域内使取最值的点要将甲乙两种长短不同的钢管截成三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示今需三种规格的钢管各根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少规格类型钢管类型规格规格规格甲种钢管乙种钢管解析设需截甲种钢管根，乙种钢管根，则，作出可行域如图目标函数为，作出组平行直线为参数，经过可行域内的点且和原点距离最近的直线必经过直线和直线的交点直线方程为由于和都不是整数，所以可行域内的点，不是最优解，且与可行域无公共点，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是，经过的整点是它是最优解综上所述知，应截取甲乙两种钢管各根可得所需三种规格钢管且使所用根数最少求解线性规划问题时对表达式的几何意义理解错误设满足约束条件，则的最大值为错解作出可行域如图，观察图形可知，当直线经过可行域内的点时，纵截距最大，即取最大值由得故选辨析因为没有弄清目标函数的几何意义，由得，当取最大值时，应取最小值，故当直线在轴上截距最大时，符合题意，另外画图不够准确致错正解作出可行域如图，作直线，平移直线，当经过可行域内的点时，取最小值，取最大值，由解得，故选警示线性规划的求解是在图上进行的，因此做图是否准确直接影响到结论的正误要注意目标函数最值的几何意义要注意线性目标函数直线与围成可行域的直线的位置关系转化设出未知数，写出约束条件与目标函数，将实际应用问题转化为数学上的线性规划问题求解解这个线性规划问题作答将求解结果还原为实际问题得出结论线性规划的应用成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修不等式第三章二元次不等式组与简单的线性规划问题第三章第课时线性规划的应用课堂探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案会从实际情境中列举出些简单的二元线性规划问题，并能加以解决培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的能力加工厂用原料由甲车间加工产品，由乙车间加工产品，甲车间加工箱原料需耗费工时小时可生产出产品，每千克产品获利元，乙车间加工箱原料需耗费工时，可生产出产品，每千克产品获利元甲乙两车间每天共能完成至多箱原料的加工，每天甲乙两车间耗费工时总和不得超过，你能为甲乙两车间制定个生产计划，使每天的获利达到最大吗用图解法求最优解的步骤画在直角坐标平面上画出可行域和直线目标函数为移平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点求求出使取得最大值或最小值的点的坐标解方程组及的最大值或最小值答给出正确答案线性规划的实际应用工厂有甲乙两种产品，计划每天各生产量不少于吨已知生产甲产品吨需煤吨，电力千瓦时，劳动力个生产乙产品吨需煤吨，电力千瓦时，劳动力个甲产品每吨利润万元，乙产品每吨利润万元，但每天用煤不超过吨，电力不超过千瓦时，劳动力只有个若你是该工厂的生产经理，你准备安排每天各生产甲乙两种产品多少分析将已知数据列成表，如下表所示产品消耗量资源甲产品乙产品资源限额煤吨电力千瓦时劳力个利润万元设出未知量，根据资源限额建立约束条件，由利润建立目标函数解设每天生产甲乙两种产品分别为吨吨，利润总额为万元，那么作出以上不等式组表示的可行域，如图目标函数为，变为，得到斜率为，在轴上截距为，且随变化的族平行直线由图可以得到，当直线经过可行域上点时，截距最大，最大解方程组得点坐标为,所以万元安排生产甲乙两种产品分别为吨吨时，利润总额最大常见的线性规划类型给定定数量的人力物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务最多，得到的效益最大给定项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力物力资源最少此类问题常见的有物资调运产品安排问题用料问题公司计划年在甲乙两个电视台做总时间不超过的广告，广告总费用不超过万元，甲乙电视台的广告收费标准分别为元和元，已知甲乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为万元和万元该公司要想获得最大收益，应分配在甲电视台广告时间，乙电视台广告时间，获得的最大收益为万元答案分析根据题意可设出该公司在甲乙电视台做广告的时间，依据做广告总时间不超过，广告费不超过万元及时间为非负数，列出不等式组，画出可行域，依据甲乙电视台为该公司所做的每分钟广告给公司带来的收益，得到目标函数则可利用线性规划知识求解解析设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为和，总收益为元，由题意得约束条件为目标函数为二元次不等式组等价于，作出二元次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图，把变形为，得到斜率为，在轴上的截距为的组平行直线观察图形可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大解方程组，得点的坐标为,元该公司在甲电视台做广告，在乙电视台做广告，公司的收益最大，最大收益是万元课堂探究学案工厂计划生产甲乙两种产品，这两种产品都需要两种原料生产甲产品工时需要种原料，种原料生产乙产品工时需要种原料，种原料现有种原料，种原料如果生产甲产品每工时的平均利润是元，生产乙产品每工时的平均利润是元，问甲乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大最大利润是多少收益最大问题利润收入产量等解析依题意可列表如下产品原料数量原料数量利润元生产甲种产品工时生产乙种产品工时限额数量设计划生产甲种产品用工时，生产乙种产品用工时，则获得利润总额为其中满足下列条件于是问题转化为