1、已知直线与直线平行，则它们之间的距离是解析直线可化为，两平行线之间的距离如图，已知，从点，射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是解析由题意知点关于直线的对称点为关于轴的对称点为则光线所经过的路程的长为答案与直线和直线等距离的直线方程是解析化为，设与，等距离的直线的方程为，所以与平行，则，解得，所以的方程为已知点若直线与线段相交包含端点的情况，则实数的取值范围是解析直线可化为，所以直线恒过定点，点直线与线段相交包含端点的情况，或，或经验证也符合题意实数的取值范围是，，答案，，将张坐标纸折叠次，使得点,与点,重合，点,与点，重合，则解析由题意可知纸的折痕应是点,与点,连线的中垂线，即直线，它也是点,与点，连线的中垂线，于是解得故答案。

2、点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用解点到直线的距离设与平行的边所在直线的方程是，则点到直线的距离，解得舍去或，思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用所以与平行的边所在直线的方程是设与垂直的边所在直线的方程是，则点到直线的距离，解得或，所以与垂直的两边所在直线的方程分别是和思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程思维点拨解析思维升华例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用运用。

3、数法求解思维点拨规范解答温馨提醒方法与技巧两直线的位置关系要考虑平行垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线，⇔⊥⇔若有条直线的斜率不存在，那么另条直线的斜率定要特别注意对称问题般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法失误与防范在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑在运用两平行直线间的距离公式时，定要注意将两方程中，的系数化为相同的形式已知两条直线，且⊥，则解析由⊥，可得，从点,射出的光线沿与向量,平行的直线射到轴上，则反射光线所在的直线方程为解析由直线与向量,平行知过点,的直线的斜率，所以直线的方程为，其与轴的交点坐标为又点,关于轴的对称点为所以反射光线过点,与由两点式得所求方程为答案教材改编若,两点到直线的距离相等，则解析依题意解得或。

4、思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交与直线平行的直线系方程是且与直线垂直的直线系方程是思维点拨解析思维升华例求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程题型二两直线相交过直线与的交点的直线系方程为，但不包括思维点拨解析思维升华跟踪训练如图，设直线过点它被两平行直线，所截的线段的中点在直线上，求其方程解与平行且距离相等的直线方程为设所求直线方程为，即又直线过跟踪训练如图，设直线过点它被两平行直线，所截的线段的中点在直线上，求其方程解得所求直线方程为例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程思维点拨解析思维升华题型三距离公式的应用例正方形的中心为点条边所在的直线方程是，求其他三边所在直线的方程题型三距离公式的应用中心到各边的距离相等思维点拨解析思维升华例正方形的中心为。

5、和的交点，且与直线垂直的直线的方程解方法解方程组得,因为的斜率为，且⊥，所以直线的斜率为，思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程由斜截式可知的方程为，即方法二设直线的方程为，即思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程又⊥解得直线的方程为思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程本题方法采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在轴上，故采用斜截式求解方法二则采用了过两直线与思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程的交点的直线系方程，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系。

6、直线过点，与已知直线相交于点，且，求直线的方程解过点，与轴平行的直线为解方程组求得点坐标为此时，即为所求设过，且与轴不平行的直线为，解方程组，，得两直线交点为，，否则与已知直线平行则点坐标为，由已知，解得即综上可知，所求直线的方程为或已知的顶点边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程解依题意知，为，联立得,设的中点为代入，得，联立方程，直线的方程为，即天津改编已知过点,的直线与圆相切，且与直线垂直，则解析圆心为由于,在圆上，为切点，与点处的切线垂直，又点处的切线与直线垂直答案四川改编设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点则的取值范围是解析由动直线知定点的坐标为由动直线知定点的坐标为且两直线互相垂直，故点在以为直径的圆上运动故当点与点或点重合时，取得最小值，当点与点或。

7、到直线的距离公式时，需把直线方程化为般式运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中，的系数化为相同的形式思维点拨解析思维升华跟踪训练已知点，求过点且与原点距离为的直线的方程解过点的直线与原点距离为，而点坐标为可见，过，垂直于轴的直线满足条件此时的斜率不存在，其方程为若斜率存在，设的方程为，即由已知，得，解之得此时的方程为综上，可得直线的方程为或求过点且与原点距离最大的直线的方程，并求出最大距离解作图可证过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，由⊥，得所以由直线方程的点斜式得，求过点且与原点距离最大的直线的方程，并求出最大距离即，最大距离为即直线是过点且与原点距离最大的直线，是否存在过点且与原点距离为的直线若存在，求出方程若不存在，请说明理由解由可知，过点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过点且与原点距离为的直线例已知。

8、，则直线外点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离点，到直线的距离为若点，关于直线对称，则直线的斜率等于，且线段的中点在直线上题号答案解析或依题意得解得或，例已知两条直线和，求满足下列条件的，的值⊥，且过点思维点拨解析思维升华题型两条直线的平行与垂直例已知两条直线和，求满足下列条件的，的值⊥，且过点题型两条直线的平行与垂直本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况思维点拨解析思维升华例已知两条直线和，求满足下列条件的，的值⊥，且过点题型两条直线的平行与垂直解方法由已知可得的斜率存在，若，则，⊥，直线的斜率必不存在，即又过点，即矛盾此种情况不存在，即，都存在，⊥，思维点拨解析思维升华例已知两条直线和，求满足下列条件的，的值⊥，且过点题型两条直线的平行与垂直，即又过点由联立，解得，方法二⊥即又过点，。

9、线，点，求点关于直线的对称点的坐标思维点拨解析思维升华题型四对称问题例已知直线，点，求直线的方程依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解思维点拨规范解答温馨提醒典例求经过且与直线垂直的直线的方程解因为所求直线与直线垂直，所以设该直线方程为，又直线过点所以有，解得，即所求直线方程为思维点拨规范解答温馨提醒典例求经过且与直线垂直的直线的方程与直线垂直的直线系方程为，再由其他条件求出思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程可分别求出直线与的交点及直线的斜率，直接写出方程也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解思维点拨规范解答温馨提醒三过直线交点的直线系典例求经过两直。

10、练出高分两条直线的位置关系两条直线平行与垂直两条直线平行ⅰ对于两条不重合的直线，若其斜率分别为，则有⇔ⅱ当直线不重合且斜率都不存在时，两条直线垂直ⅰ如果两条直线的斜率存在，设为，则有⊥⇔ⅱ当其中条直线的斜率不存在，而另条的斜率为时，⊥两条直线的交点直线则与的交点坐标就是方程组的解，几种距离两点，之间的距离点，到直线的距离两条平行线与其中间的距离知识拓展般地，与直线平行的直线方程可设为与之垂直的直线方程可设为过直线与的交点的直线系方程为，但不包括点到直线与两平行线间的距离的使用条件求点到直线的距离时，应先化直线方程为般式求两平行线之间的距离时，应先将方程化为般式且，的系数对应相等思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”当直线和斜率都存在时，定有⇒如果两条直线与垂直，则它们的斜率之积定等于已知直线，为常数，若直线。

11、维点拨解析思维升华例已知两条直线和，求满足下列条件的，的值⊥，且过点题型两条直线的平行与垂直联立可得，经验证，符合题意故，思维点拨解析思维升华例已知两条直线和，求满足下列条件的，的值⊥，且过点题型两条直线的平行与垂直当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意的系数不能同时为零这隐含条件思维点拨解析思维升华例已知两条直线和，求满足下列条件的，的值⊥，且过点题型两条直线的平行与垂直在判断两直线平行垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论思维点拨解析思维升华例，且坐标原点到这两条直线的距离相等思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华例，且坐标原点到这两条直线的距离相等本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况例，且坐标原点到这两条直。

12、不重合时，在中，有因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以的取值范围是，答案，如图，已知直线，点是，之间的定点，点到，之间的距离分别为和，点是上的动点，作⊥，且与交于点，则的面积的最小值为解析以为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，设,⊥，的面积当且仅当时取等号答案点,到直线的最大距离是解析直线经过定点如图所示由图知，当⊥时，点,到直线的距离取得最大值，所以点,到直线的最大距离为四川在平面直角坐标系内，到点，的距离之和最小的点的坐标是解析设平面上任点，因为，当且仅当共线时取等号，同理，当且仅当共线时取等号，连结，交于点，若最小，则点为所求又，直线的方程为，即又，直线的方程为，即由得,答案两直线的位置关系数学苏理第九章平面解析几何基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高。

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