果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华解方法可分为两大步进行，先将四棱锥侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论由题设，四棱锥的顶点所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华当染好时，不妨设其颜色分别为，若染，则可染或或，有种染法若染，则可染或，有种染法若染，则可染或，有种染法可见，当已染好时，还有种染法，故不同的染色方法有种例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华方法二以顺序分步染色第步，点染色，有种方法第二步，点染色，与在同条棱上，有种方法第三步，点染色，与分别在同条棱上，有种方法例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华第四步，点染色，也有种方法，但考虑到点与相邻，需要针对与是否同色进行分类，当与同色时，点有种染色方法当与不同色时，因为与也不同色，所以点有种染色方法，点也有种染色例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用方法由分步分类计数原理得不同的染色方法共有种思维点拨解析思维升华方法三按所用颜色种数分类第类，种颜色全用，共有种不同的方法第二类，只用种颜色，则必有两个顶点同色与，或与，共有种不同的方法例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华第三类，只用种颜色，则与与必定同色，共有种不同的方法由分类计数原理，得不同的染色方法种数为例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成较复杂的问题可借助图表完成例如图所示，将个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使同条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数题型三两个原理的综合应用思维点拨解析思维升华跟踪训练如图，正五边形中，若把顶点染上红黄绿三种颜色中的种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有种解析由题意知本题需要分类来解答，首先选取种颜色，有种情况如果的两个相邻点颜色相同，有种情况这时最后两个点也有种情况跟踪训练如图，正五边形中，若把顶点染上红黄绿三种颜色中的种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有种如果的两个相邻点颜色不同，有种情况这时最后两个点有种情况方法共有种典例把封信投到个信箱，所有可能的投法共有种易错分析解析温馨提醒易错警示系列对两个基本原理认识不清致误解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用分类原理和分步原理来计算解决本题易出现的问题是完成件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有种，没有注意到封信只能投在个信箱中易错分析解析温馨提醒典例把封信投到个信箱，所有可能的投法共有种易错警示系列对两个基本原理认识不清致误第封信投到信箱中有种投法第封信投到信箱中也有种投法第封信投到信箱中也有种投法只要把这封信投完，就做完了这件事情，由分步计数原理可得共有种方法易错分析解析温馨提醒典例把封信投到个信箱，所有可能的投法共有种易温馨提醒对于，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用分步原理计算人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这天的不同时间里，火车有趟，轮船有次，问此人的走法可有种易错分析解析温馨提醒因为人从甲地到乙地，乘火车的走法有种，坐轮船的走法有种，每种方法都能从甲地到乙地，根据分类计数原理，可得此人的走法可有种人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这天的不同时间里，火车有趟，轮船有次，问此人的走法可有种易错分析解析温馨提醒在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这天的不同时间里，火车有趟，轮船有次，问此人的走法可有种易错分析解析温馨提醒方法与技巧分类和分步计数原理，区别在于分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互，用其中任何种方法都可以做完这件事分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事分类标准要明确，做到不重复不遗漏混合问题般是先分类再分步要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观清楚，便于探索规律失误与防范切实理解“完成件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步确定题目中是否有特殊条件限制从集合，„，中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为解析按从小到大顺序有,共个，同理按从大到小顺序也有个，故这样的等比数列的个数为个小明有枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面他想把个硬币摆成摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有种解析记反面为，正面为则正反依次相对有,两种有两枚反面相对有三种共种摆法集合，其中，，„且⊆把满足上述条件的对有序整数对，作为个点的坐标，则这样的点的个数是解析当时，，点的个数为当时点的个数为，则共有个点四川改编从这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为共可得到的不同值的个数是解析由于，从中任取两个作为有种，又与相同，与相同，的不同值的个数为从这六个数字中任选个不重复的数字作为二次函数的系数，则可以组成顶点在第象限且过原点的抛物线条数为解析分三步第步只有种方法第二步确定，从中选个，有种不同方法第三步确定，从中选个，有种不同的方法根据乘法计数原理得种不同的方法如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成个首尾相接的三角形，则三条线段共至少需要移动格解析如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成个首尾相接的三角形，根据平移的基本性质知左边的线段向右平移格，中间的线段向下平移格，最右边的线段先向左平移格，再向上平移格，此时平移的格数最少为，其他平移方法都超过格，至少需要移动格答案次活动中，有人排成行列，现要从中选出人进行礼仪表演，要求这人中的任意人不同行也不同列，则不同的选法种数为用数字作答解析其中最先选出的个人有种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩个行列的队形，故选第二个人有种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩个行列的队形，此时第三个人的选法有种，根据分步计数原理，总的选法种数是已知集合，从，这两个集合中各选个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第第二象限内不同的点的个数是解析分两类第类，第象限内的点，有个第二类，第二象限内的点，有个共个外语组有人，每人至少会英语和日语中的门，其中人会英语，人会日语，从中选出会英语和日语的各人，有多少种不同的选法解由题意得有人既会英语又会日语，人只会英语，人只会日语第类从只会英语的人中选人说英语，共有种方法，则说日语的有种，此时共有种第二类不从只会英语的人中选人说英语，则只有种方法，则选会日语的有种，此时共有种所以根据分类加法计数原理知共有种选法在种信息传输过程中，用个数字的个排列数字允许重复表示个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有和，则与信息至多有两个对应位臵上的数字相同的信息个数为多少解方法分个相同个相同个相同讨论若个相同，则信息为共个若个相同，则信息为,共个若个相同，又分为以下情况若位臵与二相同，则信息为若位臵与三相同，则信息为若位臵与四相同，则信息为若位臵二与三相同，则信息为若位臵二与四相同，则信息为若位臵三与四相同，则信息为共个故与信息至多有两个对应位臵上的数字相同的信息个数为方法二若个相同，共有个若个相同，共有个若个相同，共有个故共有个已知集合，定义函数若点的外接圆圆心为，且，则满足条件的函数有种解析由，说明是等腰三角形，且，必有，当时有三种情况，有三种情况，有三种情况，有三种情况因而满足条件的函数有种答案直角坐标平面上，平行直线，„，与平行直线，„，组成的图形中，矩形共有个解析由题意知从横轴上的点中任选两点作为矩形的两个顶点，有种选法，再从纵轴中选两个点有种选法，作为矩形的另两个顶点，由分步计数原理知有如图，环形花坛分成，四块，现有种不同的花供选种，要求在每块里种种花，且相邻的块种不同的花，则不同的种法总数为解析可依次种四块，当与种同种花时，有种种法当与所种花不同时，有种种法，由分类计数原理，不同的种法总数为已知直线方程，若从,这个数字中任取两个不同的数作为的值，则可表示条不同的直线解析分成三类，，和，，前两类各表示条直线第三类先取有种取法，再取有种取法，故有种所以可以表示条不同的直线五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报项，则报名方法的种数为五名学生争夺四项比赛的冠军冠军不并列，获得冠军的可能性有种解析报名的方法种数为获得冠军的可能情况有种已知集合是从到的映射若中每元素都有原象，这样不同的有多少个解显然对应是对应的，即为找象有种方法，找象有种方法，找象有种方法，找象有种方法，所以不同的共有个若中的元素必无原象，这样的有多少个解必无原象,有无原象不限，所以为中每元素找象时都有种方法所以不同的共有个若满足，这样的又有多少个解分为如下四类第类中每元素都与对应，有种方法第二类中有两个元素对应，个元素对应，另个元素与对应，有种方法第三类，中有两个元素对应，另两个元素对应，有种方法第四类，中有个元素对应，个元素对应，另两个元素与对应，有种方法所以不同的共有个数学苏理分类计数原理与分步计数原理第十章计数原理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分分类计数原理完成件事有类不同的方案，在第类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，„„，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法„分步