令，求出特征值例福建已知矩阵的逆矩阵求矩阵求矩阵的特征值以及属于每个特征值的个特征向量题型三特征值与特征向量解析思维升华列方程组，赋值法求特征向量，般取或者，写出相应的向量例福建已知矩阵的逆矩阵求矩阵求矩阵的特征值以及属于每个特征值的个特征向量题型三特征值与特征向量跟踪训练已知二阶矩阵有特征值及对应的个特征向量和特征值及对应的个特征向量，试求矩阵解设矩阵，这里，，因为是矩阵的属于的特征向量，则有，跟踪训练已知二阶矩阵有特征值及对应的个特征向量和特征值及对应的个特征向量，试求矩阵又因为是矩阵的属于的特征向量，则有，跟踪训练已知二阶矩阵有特征值及对应的个特征向量和特征值及对应的个特征向量，试求矩阵根据，则有跟踪训练已知二阶矩阵有特征值及对应的个特征向量和特征值及对应的个特征向量，试求矩阵从而因此思想与方法系列用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例分二阶矩阵对应的变换将点，与,分别变换成点，与，求矩阵温馨提醒规范解答思维点拨变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解思维点拨温馨提醒规范解答分解设，则，，所以，且，思维点拨温馨提醒规范解答分解得，所以思维点拨温馨提醒规范解答本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法本题的易错点是计算错误和第问中坐标转移的方向错误思维点拨温馨提醒规范解答典例分二阶矩阵对应的变换将点，与,分别变换成点，与，设直线在变换作用下得到了直线，求的方程温馨提醒规范解答思维点拨知道直线在变换作用下的直线，求原直线，可用坐标转移法思维点拨温馨提醒规范解答分解因为且，所以，即，直线的方程是思维点拨温馨提醒规范解答本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法本题的易错点是计算错误和第问中坐标转移的方向错误思维点拨温馨提醒规范解答方法与技巧证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即二阶矩阵与平面列向量乘法，这是所有变换的基础方法与技巧二元次方程组，相应的矩阵方程为，其中为系数矩阵，为未知数向量，为常数向量若向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值失误与防范矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，般不能随意将写成矩阵乘法满足结合律，即矩阵的乘法不满足温馨提醒规范解答思维点拨知道直线在变换作用下的直线，求原直线，可用坐标转移法思维点拨温馨提醒规范解答分解因为且，所以，即，直线的方程是思维点拨温馨提醒规范解答本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法本题的易错点是计算错误和第问中坐标转移的方向错误思维点拨温馨提醒规范解答方法与技巧证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即二阶矩阵与平面列向量乘法，这是所有变换的基础方法与技巧二元次方程组，相应的矩阵方程为，其中为系数矩阵，为未知数向量，为常数向量若向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值失误与防范矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，般不能随意将写成矩阵乘法满足结合律，即矩阵的乘法不满足消去律，即对于二阶矩阵，当，且时，不定有解设矩阵的逆矩阵为江苏已知矩阵，，求矩阵则，即，故从而的逆矩阵为，所以江苏已知矩阵，，向量为实数若，求的值解由已知，得，因为，所以故，解得，所以在直角坐标系中，的顶点坐标求在矩阵的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵，解，，，可知三点在矩阵作用下变换所得的点分别为，可知的面积为已知矩阵，求满足条件的矩阵解设，，得，则，矩阵对应的变换将曲线变换为曲线，求曲线的方程解设曲线上任意点，在矩阵对应的变换作用下变为点即代入曲线，得曲线的方程是已知矩阵，，若矩阵对应的变换把直线变为直线，求实数的值解因为，所以，在直线上任取点则点，在直线上，即，所以在平面直角坐标系中，已知点,设为非零实数，矩阵，，点在矩阵对应的变换下得到的点分别为，的面积是的面积的倍，求的值解由题设得由，，，可知，计算得的面积是，的面积是，由题设知，所以的值为或设数列，满足且满足，求二阶矩阵解依题设有，令，则，设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为求实数，的值解设曲线上任意点，在矩阵对应的变换作用下的象是，由，得，又点，在上，所以，即，整理得依题意得解得或，因为，所以，求的逆矩阵解由知，，所以，已知矩阵，其中，若点,在矩阵的变换下得到点，求实数的值解由题意得，所以，所以求矩阵的特征值及特征向量解由知，令解得的特征值为或当时，由得矩阵的属于特征值的个特征向量为，当时，由得矩阵的属于特征值的个特征向量为已知矩阵的两个特征值分别为和求实数，的值解矩阵的特征多项式为由已知得，为的两根，，解得，求直线在矩阵所对应的线性变换作用下的象的方程解由知设直线上任意点，在矩阵所对应的线性变换作用下的象是由，得解得代入得，即，于是点，必在直线上由，的任意性可知，直线在矩阵所对应的线性变换作用下的象的方程为数学苏理矩阵与变换第十四章系列选讲基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分乘法规则行矩阵与列矩阵的乘法规则二阶矩阵与列向量的乘法规则两个二阶矩阵相乘的结果仍然是个矩阵，其乘法法则如下两个二阶矩阵的乘法满足律，但不满足律和律即，，由不定能推出般地，两个矩阵只有当前个矩阵的与后个矩阵的相等时才能进行乘法运算结合交换消去列数行数常见的平面变换恒等变换如伸压变换如反射变换如旋转变换如，其中为旋转角度投影变换如，切变变换如，且逆变换与逆矩阵对于二阶矩阵，若有，则称是，称为的若二阶矩阵均存在逆矩阵，则也存在逆矩阵，且可逆的逆矩阵特征值与特征向量设是个二阶矩阵，如果对于实数，存在个非零向量，使，那么称为的个，而称为的属于特征值的个特征值特征向量特征多项式设是个二阶矩阵，，把行列式，称为的特征多项式题号答案例已知变换把平面上的点,分别变换为点试求变换对应的矩阵题型求变换矩阵解析思维升华解析思维升华例已知变换把平面上的点,分别变换为点试求变换对应的矩阵题型求变换矩阵解设，则，解得解析思维升华例已知变换把平面上的点,分别变换为点试求变换对应的矩阵题型求变换矩阵，解得综上可知，知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解解析思维升华例已知变换把平面上的点,分别变换为点试求变换对应的矩阵题型求变换矩阵跟踪训练二阶矩阵对应的变换将点，与，分别变换成点，与，求矩阵解设，则有，，跟踪训练二阶矩阵对应的变换将点，与，分别变换成点，与，求矩阵所以，且，解得