利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式利用绝对值的几何意义，数形结合求解解析思维升华例已知函数当时，求不等式的解集题型含绝对值的不等式的解法例已知函数若的解集包含求的取值范围解析思维升华解⇔当,时，⇔⇔由条件得且，即故满足条件的的取值范围为,解析思维升华例已知函数若的解集包含求的取值范围解析思维升华例已知函数若的解集包含求的取值范围解绝对值不等式的基本方法利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式利用绝对值的几何意义，数形结合求解解析方法要去掉绝对值符号，需要对与和进行大小比较，和可以把数轴分成三部分当时，不等式等价于，解得当时，不等式等价于，即，无解当时，不等式等价于，解得综上，不等式的解集为或跟踪训练广东不等式的解集为跟踪训练广东不等式的解集为方法二表示数轴上的点到点和点的距离的和，如图所示，数轴上到点和点的距离的和为的点有和，故满足不等式的的取值为或，所以不等式的解集为或或当时与已知条件不符解析湖南若关于的不等式的解集为，则当时，，与已知条件不符当时又不等式的解集为，故题型二柯西不等式的应用解析思维升华例已知均为实数若，求证解析思维升华证明因为题型二柯西不等式的应用例已知均为实数若，求证所以当且仅当时取等号解析思维升华题型二柯西不等式的应用例已知均为实数若，求证使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当个式子与柯西不等式的左边或右边具有致形式时，就可使用柯西不等式进行证明解析思维升华例已知均为实数若，求的最小值解当且仅当即时，有最小值例已知均为实数若，求的最小值解析思维升华例已知均为实数若，求的最小值利用柯西不等式求最值的般结构为„„„在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件解析思维升华跟踪训练已知实数，满足求证证明由柯西不等式得，即，由已知可得，即当且仅当，即时等号成立解析思维升华例已知，，且，求证题型三不等式的证明方法，证明，，解析思维升华例已知，，且，求证题型三不等式的证明方法用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野解析思维升华例已知，，且，求证题型三不等式的证明方法解析思维升华例已知，，且，求证，证明，例已知，，且，求证解析思维升华两边同加得又例已知，，且点拨本题不等式为型不等式，解此类不等式有三种方法几何法分区间分类讨论法和图象法思维点拨温馨提醒规范解答分温馨提醒规范解答思维点拨解方法如图所示，设数轴上与,对应的点分别为那么，两点的距离和为，因此区间,上的数都不是不等式的解设在点左侧有点，到，两点的距离和为，对应数轴上的分温馨提醒规范解答思维点拨，得同理设点右侧有点到，两点距离之和为，对应数轴上的，从数轴上可看到，点，之间的点到，的距离之和都大于点的左边或点的右边的任何点到，的距离之和都大于分温馨提醒规范解答思维点拨所以原不等式的解集是，，方法二当时，原不等式可化为，解得当时，原不等式可以化为，即不成立，无解分分分温馨提醒规范解答思维点拨当时，原不等式可以化为所以综上，可知原不等式的解集为或分分温馨提醒规范解答思维点拨即，方法三将原不等式转化为构造函数，温馨提醒规范解答思维点拨作出函数的图象，如图所示函数的零点是，分温馨提醒规范解答思维点拨从图象可知，当或时即所以原不等式的解集为，，分温馨提醒规范解答思维点拨这三种方法是解型不等式常用的方法，方法中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点方法与技巧解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为元次和元二次不等式组进行求解含有多个绝对值符号的不等式，般可用零点分段法求解，对于形如或为正常数，利用实数绝对值的几何意义求解较简便不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法方法与技巧柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法或判别式法等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等应用时，通过拆常数，重新排序添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式失误与防范理解绝对值不等式的几何意义掌握分类讨论的标准，做到不重不漏利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立已知集合，，，，求集合∩解，当时即当时，恒成立当时即综上所述，又，，∩当时取等号所以江苏已知，证明证明因为，故若均为实数，且求证中至少有个大于证明假设都不大于，即，所以而所以，这与矛盾，故中至少有个大于课标全国Ⅱ设均为正数，且，证明证明由得由题设得，即所以，即证明因为，故，即所以设不等式的解集为求集合解由得，解得所以若，，试比较与的大小解由和，可知故辽宁设函数，记的解集为，的解集为求解，，，当时，由得，故当时，由得，故所以的解集为当∩时，证明证明由得，解得因此，故∩于是当∩时若，„，求证„又„课标全国Ⅰ已知函数，当时，求不等式的解集解当时，不等式化为设函数，则其图象如图所示，由图象可知，当且仅当,时，所以原不等式的解集是设，且当，时求的取值范围解，则，当，时即在，上恒成立，即，的取值范围为天津已知和均为给定的大于的自然数设集合，„集合„，，„，当，时，用列举法表示集合解当，时可得,设，，„，„，其中，，„，证明若，则证明由，，„，„，„，及，可得„„所以设为正实数，求证证明因为是正实数，由算术几何平均不等式可得，即所以而，当且仅当且时，取等号所以数学苏理不等式选讲第十四章系列选讲基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分两个实数大小关系的基本事实⇔⇔，那么如果，那么即⇔传递性如果，那么可加性如果，那么可乘性如果，那么如果，那么开方如果，那么绝对值三角不等式性质性质性质绝对值不等式的解法含绝对值的不等式的解集不等式或且和型不等式的解法⇔⇔和型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想或基本不等式定理如果，，那么，当且仅当时，等号成立定理基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立也可以表述为两个的算术平均它们的几何平均正数不小于即大于或等于利用基本不等式求最值对两个正实数如果它们的和是定值，则当且仅当时，它们的积取得最值如果它们的积是定值，则当且仅当时，它们的和取得最值大小三个正数的算术几何平均不等式定理如果均为正数，那么，当且仅当时，等号成立即三个正数的算术平均它们的几何平均不小于基本不等式的推广对于个正数„它们的算术平均它们的几何平均，即„„，当且仅当时，等号成立不小于„柯西不等式设，均为实数，则，当且仅当时等号成立设，„，„，是实数，则„„„，当且仅当„，或存在个数，使得„，时，等号成立柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立求商比较法由⇔且，因此当时要证明，只要证明即可，这种方法称为求商比较法证明不等式的方法比较法求差比较法知道⇔只要证明即可，这种方法称为求差比较法分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的，直到将待证不等式归结为个已成立的不等式已知条件定理等这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法充分条件反证法的证明步骤第步作出与所证不等式的假设第二步从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的边适当地，以利于化简，并使它与不等式的另边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立相反放大或缩小数学归纳法设是个与自然数相关的命题集合，如果证明起始命题或成立在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定对切自然数成立题号答案解析，设当当时故函数的最小值为因为不等式对任意实数恒成立，所以解不等式，得，故的取值范围为，例已知函数当时，求不等式的解集题型含绝对值的不等式的解法解析思维升华解析思维升华解当时，，例已知函数当时，求不等式的解集题型含绝对值的不等式的解法当时，由得，解得解析思维升华例已知函数当时，求不等式的解集题型含绝对值的不等式的解法当时，无解当时，由得，解得所以的解集为或解绝对值不等式的基本方法利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式利用绝对值的几何意义，数形结合求解解析思维升华例已知函数当时，求不等式的解集题型含绝对值的不等式的解法例已知函数若的解集包含求的取值范围解析思维升华解⇔当,时，⇔⇔由条件得且，即故满足条件的的取值范围为,解析思维升华例已知函数若的解集包含求的取值范围解析思维升华例已知函数若的解集包含求的取值范围解绝对值不等式的基本方法利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式利用绝对值的几何意义，数形结合求解解析方法要去掉绝对值符号，需要对与和进行大小比较，和可以把数轴分成三部分当时，不等式等价于，解得当时，不等式等价于，即，无解当时，不等式等价于，解得综上，不等式的解集为或跟踪训练广东不等式的解集为跟踪训练广东不等式的解集为方法二表示数轴上的点到点和点的距离的和，如图所示，数轴上到点和点的距离的和为的点有和，故满足不等式的的取值为或，所以不等式的解集为或或当时与已知条件不符解析湖南若关于的不等式的解集为，则当时，，与已知条件不符当时又不等式的解集为，故题型二柯西不等式的应用解析思维升华例已知均为实数若，求证解析思维升华