图形的形状为，故四边形是菱形菱形题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解析思维升华题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解设正方体的棱长为，正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图所示，解析思维升华题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比有，解析思维升华题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，解析思维升华题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比有解析思维升华题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比正方体的各顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，解析思维升华题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比有综上可得，∶∶∶∶解析思维升华题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况解析思维升华题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比在求多面体的侧面积时，应对每侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理解析思维升华题型三空间几何体的表面积例有三个球，第个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比圆柱圆锥圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和解析思维升华解析思维升华例如图，斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱与底面相邻两边与都成角，求此斜三棱柱的表面积解如图，过作⊥平面于，过作⊥于，⊥于，连结例如图，斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱与底面相邻两边与都成角，求此斜三棱柱的表面积解析思维升华则由得≌，平分，又，例如图，斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱与底面相邻两边与都成角，求此斜三棱柱的表面积解析思维升华⊥，⊥，而，⊥，四边形是矩形，例如图，斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱与底面相邻两边与都成角，求此斜三棱柱的表面积斜三棱柱的侧面积为解析思维升华例如图，斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱与底面相邻两边与都成角，求此斜三棱柱的表面积又斜三棱柱的底面积为，斜三棱柱的表面积为解析思维升华解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况例如图，斜三棱柱个平面上的问题转化到个平面上规范解答思维点拨温馨提醒如果是圆柱圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图缺乏空间图形向平面图形的转化意识规范解答思维点拨温馨提醒与的长规范解答思维点拨温馨提醒与的长最短在展开图上呈现怎样的形式规范解答思维点拨温馨提醒与的长将该三棱柱的侧面沿棱展开，如右图，设，则即规范解答思维点拨温馨提醒与的长又，故，即规范解答思维点拨温馨提醒解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在个平面上，将问题转化为平面上的最值问题如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中条棱或者两个面的交线展开，把不在个平面上的问题转化到个平面上与的长规范解答思维点拨温馨提醒与的长如果是圆柱圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图缺乏空间图形向平面图形的转化意识规范解答思维点拨温馨提醒三棱锥的体积规范解答思维点拨温馨提醒三棱锥以谁做底好三棱锥的体积规范解答思维点拨温馨提醒三棱锥的体积在三棱锥中，到面的距离，即规范解答思维点拨温馨提醒解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在个平面上，将问题转化为平面上的最值问题如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中条棱或者两个面的交线展开，把不在个平面上的问题转化到个平面上三棱锥的体积规范解答思维点拨温馨提醒如果是圆柱圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图缺乏空间图形向平面图形的转化意识三棱锥的体积规范解答思维点拨温馨提醒方法与技巧棱柱棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到个三角形中进行解决旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面侧面及展开图形状要注意将空间问题转化为平面问题求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决失误与防范几何体展开折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系与球有关的组合体问题，种是内切，种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径下列叙述中正确的个数是相等的角，在直观图中仍相等长度相等的线段，在直观图中长度仍相等若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直全等的三角形的直观图仍全等解析由斜二测画法知正确，其余均错误答案五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么个五棱柱对角线的条数为解析如图，在五棱柱中，从顶点出发的对角线有两条同理从，点出发的对角线均有两条，共条陕西改编已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱底面是正方形的直棱柱的各顶点均在同个球面上，则该球的体积为解析正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径，球的体积如图，正方体的棱长为分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为解析已知个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为解析因为扇形弧长为，所以圆锥母线长为，高为，所求体积已知三棱锥的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为解析如图，构造正方体因为三棱锥的所有棱长都为，所以正方体的棱长为所以该正方体的外接球的半径为易知三棱锥的外接球就是正方体的外接球，所以三棱锥的外接球的半径为所以三棱锥的外接球的表面积为球答案如图所示，分别为正方体的面面的中心，则四边形在该正方体的面上的投影是填序号解析四边形在面上的投影为在面上的投影为，在面上的投影应在边与上，而不在四边形的内部，故错误答案如图所示，在边长为的正方形纸片中，与相交于，剪去，将剩余部分沿折叠，使重合，则以为顶点的四面体的体积为解析折叠后的四面体如图所示两两相互垂直，且，体积答案已知个上下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为和，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高解如图所示，三棱台中，分别为两底面中心，分别为和的中点，则为棱台的斜高由题意知则由侧上下，得，解得，在直角梯形中，，所以棱台的高为如图所示，在边长为的正方形中，以为圆心画个扇形，以为圆心画个圆，为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥底面，围成个圆锥，求圆锥的表面积与体积解设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，由已知条件解得表面积为的圆锥，它的侧面展开图是个半圆，则该圆锥的底面直径为解析设圆锥的母线为，圆锥底面半径为则，即圆锥的底面直径为在四棱锥中，底面为梯形，为的中点，设的体积为，那么三棱锥的体积为解析设点到平面的距离为，点到平面的距离为连结因为是的中点，所以所以而所以因为，到平面的距离即为到平面的距离，而，且，所以所以答案已知圆台的母线长为，母线与轴的夹角为，上底面半径是下底面半径的，则这个圆台的侧面积是解析如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知，设，则，又所以圆台的侧面积为答案已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面⊥平面，得到如图所示的三棱锥若为边的中点分别为线段，上的动点不包括端点，且设，则三棱锥的体积的最大值为解析由平面⊥平面，且为的中点可知⊥平面，易知，故三棱锥的高为故三棱锥的体积为，时，答案如图，内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，⊥平面求证⊥平面证明四边形为平行四边形，，⊥平面，⊂平面，⊥是圆的直径，⊥，且∩，⊥平面，⊥平面设，表示三棱锥的体积，求函数的解析式及最大值解⊥平面，⊥平面在中在中，当且仅当，即时，取等号，时，体积有最大值为空间几何体及其表面积体积第八章立体几何数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分空间几何体的结构特征多面体棱柱的侧棱都，上下底面是的多边形棱锥的底面是任意多边形，侧面是有个公共顶点的三角形棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是多边形平行且相等全等相似旋转体圆柱可以由绕其任边所在直线旋转得到圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到圆台可以由直角梯形绕所在直线或等腰梯形绕上下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到球可以由半圆或圆绕所在直线旋转得到矩形直角边直角腰直径柱锥台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱表面积侧底锥体棱锥和圆锥表面积侧底台体棱台和圆台表面积侧上下球上下上下空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用画法，基本步骤在已知图形中取互相垂直的轴轴，两轴相交于点，画直观图时，把它们画成对应的轴轴，两轴相交于点，且使已知图形中平行于轴轴的线段，在直观图中分别平行于斜二测或轴轴已知图形中平行于轴的线段，在直观图中长度平行于轴的线段，长度变为在已知图