，，求数列的前项和解析答案思维升华错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列，即的前项和的方法这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围例设，，求数列的前项和跟踪训练已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且成等差数列求数列的通项公式解设等比数列的公比为，由题意知，又成等差数列跟踪训练已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且成等差数列求数列的通项公式变形得，即得解得或，跟踪训练已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且成等差数列求数列的通项公式又由为递减数列，于是，若，数列的前项和为，求满足不等式的最大值解由于，„，于是„，若，数列的前项和为，求满足不等式的最大值两式相减得„，若，数列的前项和为，求满足不等式的最大值，解得，的最大值为解析题型三裂项相消法求和例山东已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列求数列的通项公式思维升华解因为解析思维升华，题型三裂项相消法求和例山东已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列求数列的通项公式由题意得，解得，所以利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等解析思维升华题型三裂项相消法求和例山东已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列求数列的通项公式解析思维升华例令，求数列的前项和解析思维升华例令，求数列的前项和解解析思维升华例令，求数列的前项和当为偶数时，„解析思维升华例令，求数列的前项和当为奇数时，„解析思维升华例令，求数列的前项和所以，为奇数为偶数解析思维升华例令，求数列的前项和利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等跟踪训练在数列中当时，其前项和满足求的表达式解，跟踪训练在数列中当时，其前项和满足求的表达式即，由题意得，式两边同除以，得，跟踪训练在数列中当时，其前项和满足求的表达式数列是首项为，公差为的等差数列，设，求的前项和解，„„审题路线图系列四审结构定方案典例分已知数列的前项和其中，且的最大值为确定常数，并求规范解答温馨提醒审题线路图，审题线路图温馨提醒规范解答及最大值为是的函数时根据的结构特征确定值利用的关系审题线路图温馨提醒规范解答解当时，因为，分求数列的前项和温馨提醒规范解答审题线路图得„故分分求数列的前项和温馨提醒规范解答审题线路图根据数列前项和的结构特征和最值确定和，求出后再根据的结构特征确定利用错位相减法求在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案求数列的前项和温馨提醒规范解答审题线路图利用求时不要忽视的情况错位相减时不要漏项或算错项数可以通过,时的特殊情况对结论进行验证方法与技巧非等差等比数列的般数列求和，主要有两种思想转化的思想，即将般数列设法转化为等差或等比数列，这思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法错位相减法倒序相加法等来求和直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数字母时，应对其公比是否为进行讨论在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号结论中形如，的式子应进行合并失误与防范数列„„的前项和的值为解析该数列的通项公式为，则„已知函数，且，则„解析为奇数为偶数，由，得„„答案数列，„„，共有十项，且其和为，则„„的值为解析„„„„已知数列的前项和，则的前项和解析由得是等差数列，且首项为，公差为，时，时，，，数列，其前项之和为，则在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为解析数列的前项和为„直线方程为令，得，在轴上的截距为答案数列满足，且，是数列的前项和，则解析由则„，„，„已知数列满足是数列的前项和，则解析由题意知，„，所以数列的奇数项构成了首项为，公差为的等差数列，偶数项构成了首项为，公差为的等差数列，通过分组求和可得答案设，若„，则解析„，„，得，„，答案已知数列是首项为，公比为的等比数列，设，数列满足求数列的通项公式解由题意，知，又，故求数列的前项和解由，知，，所以所以„，于是„两式相减，得„所以江西正项数列的前项和满足求数列的通项公式解由，得，由于是正项数列，所以所以时时，适合上式令，数列的前项和为，证明对于任意的，都有证明由得„即对于任意的，都有已知数列，„，这个数列的特点是从第二项起，每项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和解析由已知得，故数列的前项依次为,由此可知数列为周期数列，周期为，且，答案„解析当为偶数时，„„当为奇数时，„„，综上可得，原式答案湖南设为数列的前项和，则„解析，当为偶数时当为奇数时当时，根据以上的关系式及递推式可求„，„„„„„答案已知数列的前项和，满足求数列的通项解当时则当时两式相减得，即，当时则，是以为首项，为公比的等比数列若数列满足，为数列的前项和，求证证明则„，„，两式相减得„当时，为递增数列，直线与圆交于不同的两点数列满足，求数列的通项公式解由题意，知圆的圆心到直线的距离，半径，所以又，所以若为奇数，为偶数，求数列的前项和解当为偶数时，„„„„当为奇数时，为偶数，而，所以所以为偶数，为奇数数列求和第六章数列数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分求数列的前项和的方法公式法等差数列的前项和公式等比数列的前项和公式当时当时，分组转化法把数列的每项分成两项或几项，使其转化为几个等差等比数列，再求解裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广错位相减法主要用于个等差数列与个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广并项求和法个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如类型，可采用两项合并求解例如，„„常见的裂项公式思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”如果数列为等比数列，且公比不等于，则其前项和当时，求„之和时只要把上式等号两边同时乘以即可根据错位相减法求得数列的前项和为若数列„，是首项为，公比为的等比数列，则数列的通项公式是推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得„题号答案解析因为，所以所以„„例已知数列的通项公式是，求其前项和题型分组转化法求和思维升华解析解„„„，所以当为偶数时，思维升华解析例已知数列的通项公式是，求其前项和题型分组转化法求和当为奇数时，思维升华解析例已知数列的通项公式是，求其前项和题型分组转化法求和思维升华解析例已知数列的通项公式是，求其前项和题型分组转化法求和综上所述，，为偶数为奇数些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论解析思维升华例已知数列的通项公式是，求其前项和题型分组转化法求和跟踪训练数列中则数列前项和为解析由已知，得，由得，取及，结果相加可得„解析由已知得数列的通项公式为，„„„已知数列的前项是„，则数列的通项公式，其前项和已知数列的前项是„，则数列的通项公式，其前项和例已知等差数列的前项和为，前项和为求数列的通项公式思维点拨解析思维升华题型二错位相减法求和列方程组求的首项公差，然后写出通项思维点拨解析思维升华例已知等差数列的前项和为，前项和为求数列的通项公式题型二错位相减法求和解设等差数列的公差为由已知得解得，故思维点拨解析思维升华例已知等差数列的前项和为，前项和为求数列的通项公式题型二错位相减法求和错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列，即的前项和的方法这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围思维点拨解析思维升华例已知等差数列的前项和为，前项和为求数列的通项公式题型二错位相减法求和思维点拨解析思维升华例设，，求数列的前项和思维点拨解析思维升华时，为等差数列，直接求和时，用错位相减法求和例设，，求数列的前项和解由得，于是„若，将上式两边同乘以有„思维点拨解析思维升华例设，，求数列的前项和两式相减得到„思维点拨解析思维升华于是，例设，，求数列的前项和思维点拨解析思维升华若，则„所以，例设，，求数列的前项和解析答案思维升华错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列，即的前项和的方法这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围例设，，求数列的前项和跟踪训练已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且成等差数列求数列的通项公式解设等比数列的公比为，由题意知，又成等差数列跟踪训练已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且成等差数列求数列的通项公式变形得，即得解得或，跟踪训练已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且成等差数列求数列的通项公式又由为递减数列，于是，若，数列的前项和为，求满足不等式的最大值解由于，„，于是„，若，数列的前项和为，求满足不等式的最大值两式相减得„，若，数列的前项和为，求满足不等式的最大值，解得，的最大值为解析题型三裂项相消法求和例山东已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列求数列的通项公式思维升华解因为解析思维升华，题型三裂项相消法求和例山东已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列求数列的通项公式由题意得，解得，所以利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时