”题型二用定积分的几何意义求定积分例用定积分的意义求下列各式的值解析由直线以及所围成的图形，如图所示表示由直线以及所围成的图形在轴上方的面积减去在轴下方的面积，由可知，的图象如下图所示，由定积分的几何意义知，等于圆心角为的弓形的面积与矩形的面积之和弓形，矩形，函数在区间，上是个奇函数，图象关于原点成中心对称，由在轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，这个代数和为，即规律方法定积分的几何意义的应用利用定积分的几何意义求的值的关键是确定由曲线，直线，及所围成的平面图形的形状常见的图形有三角形直角梯形矩形圆等可求面积的平面图形关键词平面图形的形状不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确关键词分割奇偶函数在区间，上的定积分若奇函数的图象在，上连续，则若偶函数的图象在，上连续，则►变式训练根据定积分的几何意义推出下列定积分的值解析在平面上，表示的几何图形为以原点为圆心，以为半径的上半圆如图所为圆心，以为半径的上半圆如图所示，其面积为由定积分的几何意义知，如图，根据定积分的几何意义，所求定积分表示的是和，及所围成的图形的面积，即图中阴影部分面积因此，题型三利用定积分性质求定积分例计算的值已知，，，求在区间，上的定积分解析如图由定积分的几何意义得，由定积分性质得由定积分的几何意义得，规律方法利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁应用时注意性质的推广„„„其中„，►变式训练已知函数，，，求在区间，上的积分解析由定积分的几何意义知，，由定积分的性质得析疑难提能力对定积分的几何意义理解有误导致错误典例用定积分的几何意义求定积分解析，由定积分的几何意义知是由直线及轴所围成的图形的面积如图所示的阴影部分，因为当，时当，时，所以，所以易错剖析在应用定积分的几何意义求定积分时，若没有考虑在轴下方的面积取负号，轴上方的面积取正号，就会导致错误为了防止错误出现，以下规则要牢记若，则在，上曲边梯形的面积若，则在，上曲边梯形的面积若在，上在，上则在，上曲边梯形的面积定积分的概念研题型学方法题型用定积分的定义求定积分例用定积分的定义计算解析分割将区间，分成等份，„，分割后的区间长为近似代替第个小曲边梯形的面积可近似为„，求和„„取极限当趋向于无穷大，即趋向于时，趋向于，从而有规律方法用定义法求定积分的四个步骤分割近似代替求和取极限其中分割通常都是对积分区间进行等分，近似代替时通常取区间的端点，求和时要注意些公式的灵活应用►变式训练利用定积分的定义计算的值解析令分割在区间，上等间隔地插入个分点，把区间，等分成个小区间，„每个小区间的长度为近似代替求和取ξ„则ξ„“”题型二用定积分的几何意义求定积分例用定积分的意义求下列各式的值解析由直线以及所围成的图形，如图所示表示由直线以及所围成的图形在轴上方的面积减去在轴下方的面积，由可知，的图象如下图所示，由定积分的几何意义知，等于圆心角为的弓形的面积与矩形的面积之和弓形，矩形，函数在区间，上是个奇函数，图象关于原点成中心对称，由在轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，这个代数和为，即规律方法定积分的几何意义的应用利用定积分的几何意义求的值的关键是确定由曲线，直线，及所围成的平面图形的形状常见的图形有三角形直角梯形矩